Gränsvärde då x går mot 0

Om man ritar kurvan ser det ut att gå mot 12.  (plot)

sin(2x)/x  -> 2
ln(1+3x)/x  ->  3
2*2*3=12 men riktigt så enkelt är det kanske inte  :-)

Tillägg: 23 okt 2023 13:27

Jo, det är så enkelt. Det finns en produktregel för gränsvärden (om faktorerna inte är 0 eller $\infty$)
Se, tex: math.chalmers/Proofs_Section1.5.pdf
Under 2 Produktregeln fär gränsvärden.

Det är ett bevis för regeln.

joculator skrev:

Om man ritar kurvan ser det ut att gå mot 12.  (plot)

sin(2x)/x  -> 2
ln(1+3x)  ->  3
2*2*3=12 men riktigt så enkelt är det kanske inte  :-)

---

Tillägg: 23 okt 2023 13:27

Jo, det är så enkelt. Det finns en produktregel för gränsvärden (om faktorerna inte är 0 eller $\infty$)
Se, tex: math.chalmers/Proofs_Section1.5.pdf
Under 2 Produktregeln fär gränsvärden.

Det är ett bevis för regeln.

Måste ha kuggat på denna. Nu förstår jag ej varför sin(2x)/x går mot 2. Sen är jag helt säker på att ln(1+3x) går mot 0 om man särar på båda uttrycket. Jag stoppade in x=0 i ln uttrycket

 Ja, det skulle stå ln(1+3x)/x  -> 3
Jag har ändrat mitt inlägg

joculator skrev:

 Ja, det skulle stå ln(1+3x)/x  -> 3
Jag har ändrat mitt inlägg

Men jag förstår ej hur det går mot 3 då det är säkert en standardgränsvärde också som jag ej kom på. Sen hur i hela friden blir gränsvärdet  2 för sin ?

Vi kan titta på $\ln (1+3x)/x$

$\frac{\ln (1+3x)}{x}=\frac{\ln (1+3x)}{3x}·3 -> 1·3=3$
Ursäkta att jag inte skriver ut lim överallt, jag tror du förstår vad jag menar.

Kan du göra samma sok med sinus?

joculator skrev:

Vi kan titta på $\ln (1+3x)/x$

$\frac{\ln (1+3x)}{x}=\frac{\ln (1+3x)}{3x}·3 -> 1·3=3$
Ursäkta att jag inte skriver ut lim överallt, jag tror du förstår vad jag menar.

Kan du göra samma sok med sinus?

Jo jag förstår ! Men jag undrar varför man multiplicerar med 3 när du har ln(1+3x)/3x ? Jag undrar samma sak gällande sinus.  Jag förstår att man vill likna standardgränsvärde ln(1+x)/x  när man multiplicerar x med 3 i nämnaren. Såhär gjorde jag  nu men jag förstår ej varför man måste multiplicera med tex 2 bredvid uttrycket och 3 bredvid uttrycket?

Du förlänger bråket. Du kan ju inte bara multiplicera nämnaren utan att multiplicera täljaren.

Tex: $\frac{\sin \left(2x\right)}{x}$här förlänger du bråket med 2   $\frac{\sin \left(2x\right)}{x}=\frac{\sin \left(2x\right)}{x}·\frac{2}{2}=\frac{\sin \left(2x\right)}{2x}·2$

joculator skrev:

Du förlänger bråket. Du kan ju inte bara multiplicera nämnaren utan att multiplicera täljaren.

Tex: $\frac{\sin \left(2x\right)}{x}$här förlänger du bråket med 2   $\frac{\sin \left(2x\right)}{x}=\frac{\sin \left(2x\right)}{x}·\frac{2}{2}=\frac{\sin \left(2x\right)}{2x}·2$

Ah okej men då är jag med!