gränsvärde, bevis, delsteg
Hej!
Jag förstår inte vaför w=max(w0,w1) samt w=max(w1,w2). Förmodlingen är det samma resonemang i båda delstegen.
Min möjligtvis felaktiga förklaring, mina tankar = w väljs på sättet det har för att;
1. g(x) måste vara begränsad. Enligt denna definitionen, i alla fall fr.o.m ett x>w0. Vi vet inte om w0 eller w1 är störst. En av dom är större än den andra eller lika stora. Tar man det största av dem två x värdena så kommer det ligga inom intervallet av den mindre också. Därför tappar man inte någon information. Samma är fallet i sats 2.
Rätta mig görna om jag har förstått någoting fel, hjälp mig gärna komma i rätt riktning.
Tack på förhand.
Menar du w = max(w0, w1)?
PATENTERAMERA skrev:Menar du w = max(w0, w1)?
Ja, fixat till det typografiska felet i mitt inlägg men frågan den själv återstår.
Därför att man har bestämt sig för att kalla det största av talen för w, bara för att det skall bli lättare att formulera sig i fortsättningen - alternativet skulle vara att man upprepar typ "det största av talen" så många gånger som man behöver. Det är alltså en definition och inget som man behöver förstå, bara acceptera.
Detta värde väljer man för att garantera att man arbetar med x-värden som gör att båda olikheterna är uppfyllda.
PATENTERAMERA skrev:Detta värde väljer man för att garantera att man arbetar med x-värden som gör att båda olikheterna är uppfyllda.
Det blir det ju om man väljer det minsta också? För det minsta x'et ligger före det största, och dom begränsas som jag förstår det mot y axeln och sedan är det fritt fram när x-> oändligheten. Är detta korrekt? Är min förståelse i inlägget korrekt?
Smaragdalena skrev:Därför att man har bestämt sig för att kalla det största av talen för w, bara för att det skall bli lättare att formulera sig i fortsättningen - alternativet skulle vara att man upprepar typ "det största av talen" så många gånger som man behöver. Det är alltså en definition och inget som man behöver förstå, bara acceptera.
Tack för ditt svar Smaragdalena men du missförstod frågan tyvärr, möjligtvis formulerad jag mig otydligt.
blygummi skrev:Smaragdalena skrev:Därför att man har bestämt sig för att kalla det största av talen för w, bara för att det skall bli lättare att formulera sig i fortsättningen - alternativet skulle vara att man upprepar typ "det största av talen" så många gånger som man behöver. Det är alltså en definition och inget som man behöver förstå, bara acceptera.
Tack för ditt svar Smaragdalena men du missförstod frågan tyvärr, möjligtvis formulerad jag mig otydligt.
Du frågade så här:
Jag förstår inte vaför w=max(w0,w1) samt w=max(w1,w2).
Det var detta jag svarade på. Vad var det du hade menat att fråga om?
Jag tror att du förstått rätt. För att första olikheten garanterat ska gälla ska x > w1 och för andra x > w2. Du behöver att bägge ska gälla, dvs x > w1 och x > w2, men du vill formulera det som x > w. Vilket tal w som helst som är minst lika stort som både w1 och w2 fungerar. Det finns massor av sådana tal och för beviset behöver du bara säga att det finns minst ett sånt tal, dvs det finns ett tal w som är minst lika stort som w1 och w2, t ex pga att de reella talen inte är uppåt begränsade. Beviset är mer konstruktivt och väljer w = max(w1,w2) som är den minsta övre gränsen.
Det skulle inte fungera med w = w1 + w2 eftersom någon av w1 och/eller w2 kan vara negativ, men w = |w1| + |w2| skulle fungera som alternativ, eller w = sqrt(w1^2 + w2^2) osv. Eller lite löjligt för att illustrera poängen att det inte spelar roll vilken av w1 och w2 som är störst eller hur tight gränsen är så fungerar w = 4711 + max(w1+17,w2+42). Förslaget i beviset är ”snyggt” eftersom det är minimalt (minsta övre gräns) och enkelt uttryckt utan ovidkommande konstanter.
blygummi skrev:PATENTERAMERA skrev:Detta värde väljer man för att garantera att man arbetar med x-värden som gör att båda olikheterna är uppfyllda.
Det blir det ju om man väljer det minsta också? För det minsta x'et ligger före det största, och dom begränsas som jag förstår det mot y axeln och sedan är det fritt fram när x-> oändligheten. Är detta korrekt? Är min förståelse i inlägget korrekt?
Nej då skulle x fortfarande kunna vara mindre än det största värdet. Var kommer y axeln in?
Smaragdalena skrev:blygummi skrev:Smaragdalena skrev:åDärför att man har bestämt sig för att kalla det största av talen för w, bara för att det skall bli lättare att formulera sig i fortsättningen - alternativet skulle vara att man upprepar typ "det största av talen" så många gånger som man behöver. Det är alltså en definition och inget som man behöver förstå, bara acceptera.
Tack för ditt svar Smaragdalena men du missförstod frågan tyvärr, möjligtvis formulerad jag mig otydligt.
Du frågade så här:
Jag förstår inte vaför w=max(w0,w1) samt w=max(w1,w2).
Det var detta jag svarade på. Vad var det du hade menat att fråga om?
Frågan jag tycker du svarade på är ”vad betyder det när man skriver ’w=max(w0,w1)..’”. Eller, ”varför kan denna notationen vara hjälpsam i fortsättningen”.
Min fråga var, varför är w lika med just specifikt det maximala värdet av w0 och w1 och inte något annat, såsom det minimala. Varför vill man att w ska vara definierat på just det viset? Att det är definierat på det sättet ser jag och jag förstod vad det betyder men inte varför så bör vara fallet för att beviset ska gå ihop. Hoppas detta klargjorde min initiala fråga då du tyckte den var otydlig.
dioid skrev:Jag tror att du förstått rätt. För att första olikheten garanterat ska gälla ska x > w1 och för andra x > w2. Du behöver att bägge ska gälla, dvs x > w1 och x > w2, men du vill formulera det som x > w. Vilket tal w som helst som är minst lika stort som både w1 och w2 fungerar. Det finns massor av sådana tal och för beviset behöver du bara säga att det finns minst ett sånt tal, dvs det finns ett tal w som är minst lika stort som w1 och w2, t ex pga att de reella talen inte är uppåt begränsade. Beviset är mer konstruktivt och väljer w = max(w1,w2) som är den minsta övre gränsen.
Det skulle inte fungera med w = w1 + w2 eftersom någon av w1 och/eller w2 kan vara negativ, men w = |w1| + |w2| skulle fungera som alternativ, eller w = sqrt(w1^2 + w2^2) osv. Eller lite löjligt för att illustrera poängen att det inte spelar roll vilken av w1 och w2 som är störst eller hur tight gränsen är så fungerar w = 4711 + max(w1+17,w2+42). Förslaget i beviset är ”snyggt” eftersom det är minimalt (minsta övre gräns) och enkelt uttryckt utan ovidkommande konstanter.
Hoppas bilden ovan illustrera hur jag förstår konceptet i fråga. Säg att C och lambda är två givna värden som begränsar funktionerna uppåt och nedåt, såsom i bilden. (Jag är medveten om att epsilon > 0) Utöver detta, om w0 och w1 är positiva, och w1>w0, det innebär att vi förlorar intervallet w1-w0? Vad händer om g(x) är definierad där?
PATENTERAMERA skrev:blygummi skrev:PATENTERAMERA skrev:Detta värde väljer man för att garantera att man arbetar med x-värden som gör att båda olikheterna är uppfyllda.
Det blir det ju om man väljer det minsta också? För det minsta x'et ligger före det största, och dom begränsas som jag förstår det mot y axeln och sedan är det fritt fram när x-> oändligheten. Är detta korrekt? Är min förståelse i inlägget korrekt?
Nej då skulle x fortfarande kunna vara mindre än det största värdet. Var kommer y axeln in?
Jag hoppas att bilden med texten ocan tydliggör mitt resonemang.
Det framgår väl av resonemanget i boken att man behöver välja det största talet för att kunna vara säker på att om man väljer sitt x enligt instruktionerna så kommer man att få fram något som är mindre än epsilon. Det står att x skall vara större än w0 och att x skall vara större än w1 och för att x skall uppfylla båda dessa krav måste det vara större än både w0 och w1, d v s större än det största av w0 och w1. Då inför man beteckningen w för att kunna formulera sig smidigare.
Smaragdalena skrev:Det framgår väl av resonemanget i boken att man behöver välja det största talet för att kunna vara säker på att om man väljer sitt x enligt instruktionerna så kommer man att få fram något som är mindre än epsilon. Det står att x skall vara större än w0 och att x skall vara större än w1 och för att x skall uppfylla båda dessa krav måste det vara större än både w0 och w1, d v s större än det största av w0 och w1. Då inför man beteckningen w för att kunna formulera sig smidigare.
Anta att, exempelvis, w1>w0. Om vi väljer, w=w1, missar vi inte då intervallet; w1-w0?
x > max(a, b) (x > a) och (x > b)
PATENTERAMERA skrev:x > max(a, b) (x > a) och (x > b)
Antag att; a>b, skulle i sådana fall: w=b? Betyder max värdet det största värdet som gör att beviset går ihop eller det största av a och b? Om det betyder det hänger jag med, om det betyder, max(8,4)=8, så är jag inte med, då blir vi ju av med intervallet a-b?
max(8,4)=8. Vad är det för intervall du pratar om?
Du ska visa att ett gränsvärde existerar, inte hitta det största intervallet där en viss olikhet är uppfylld
blygummi skrev:dioid skrev:Jag tror att du förstått rätt. För att första olikheten garanterat ska gälla ska x > w1 och för andra x > w2. Du behöver att bägge ska gälla, dvs x > w1 och x > w2, men du vill formulera det som x > w. Vilket tal w som helst som är minst lika stort som både w1 och w2 fungerar. Det finns massor av sådana tal och för beviset behöver du bara säga att det finns minst ett sånt tal, dvs det finns ett tal w som är minst lika stort som w1 och w2, t ex pga att de reella talen inte är uppåt begränsade. Beviset är mer konstruktivt och väljer w = max(w1,w2) som är den minsta övre gränsen.
Det skulle inte fungera med w = w1 + w2 eftersom någon av w1 och/eller w2 kan vara negativ, men w = |w1| + |w2| skulle fungera som alternativ, eller w = sqrt(w1^2 + w2^2) osv. Eller lite löjligt för att illustrera poängen att det inte spelar roll vilken av w1 och w2 som är störst eller hur tight gränsen är så fungerar w = 4711 + max(w1+17,w2+42). Förslaget i beviset är ”snyggt” eftersom det är minimalt (minsta övre gräns) och enkelt uttryckt utan ovidkommande konstanter.
Hoppas bilden ovan illustrera hur jag förstår konceptet i fråga. Säg att C och lambda är två givna värden som begränsar funktionerna uppåt och nedåt, såsom i bilden. (Jag är medveten om att epsilon > 0) Utöver detta, om w0 och w1 är positiva, och w1>w0, det innebär att vi förlorar intervallet w1-w0? Vad händer om g(x) är definierad där?
Det händer ingenting. Vi förlorar ingenting. g kan mycket väl vara definierad där.
Vi har ett första villkor som är uppfyllt om x>w0.
Vi har ett andra villkor som är uppfyllt om x>w1.
Vi har ett argument som kräver att båda villkoren är uppfyllda, vilket uppnås om x > w0 och x > w1, vilket är ekvivalent med att x > max(w0 , w1).
Klart som korvspad.
