Gränsvärde bevis

Visa genom definition att 3x/(2x+1) går mot 3/2 när x går mot oändligheten

|3x/(2x+1)-3/2| < |3x/(2x+1)| + 3/2 = 3x/(2x+1) + 3/2 som ska vara mindre än epsilon för stora x

"epsilon skrivs med e här"

3x < (e - 3/2)(2x+1)

3x < 2xe + e -3x -3/2

3x-2xe+3x<e-3/2

x(6-2e) < e-3/2

x <( e-3/2)/(6-2e)

alltså ska x vara större än (3/2-e)/(6-2e) vilket blir fel

Känns som att redan första steget blir tokigt. Du vill att termerna i beloppet ska ta ut varandra för att bli nära 0. Om du börjar med triangelolikheten kommer du alltid få något större än 3/2 och det blir ju inte mindre än epsilon.

Notera att 3x/(2x+1) = 3/(2+1/x) < 3/2 då x > 0.

För stora x gäller det därför att $|\frac{3 x}{2 x + 1} - \frac{3}{2}| = \frac{3}{2} - \frac{3 x}{2 x + 1}$ .

Svara