Gränsvärde, bestämma okänd konstant

Jag har fastnat på en fråga som lyder "Bestäm konstanten a så att $\lim_{x - > 0} \frac{\sin (a x) - \ln (1 + x)}{1 - \cos (a x)}$ existerar ändligt"

Jag kör med L'Hôpitals metod och får efter derivering $\frac{- \sin (a x) a^{2} + \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}}{\cos (a x) a^{2}}$ och $\frac{0 + 1}{a^{2}}$ (när x-> 0) men för att gränsvärdet nu ska bli ändligt kan väl a anta vilket värde som helst? Varför måste a just vara 1?

Kan du visa hur du deriverar de enskilda termerna?

EDIT: själv hade jag nog taylorutvecklat, men det finns flera sätt att lösa uppgiften på.

Dr. G skrev:
Kan du visa hur du deriverar de enskilda termerna?
EDIT: själv hade jag nog taylorutvecklat, men det finns flera sätt att lösa uppgiften på.

Aha, du körde l'hospital två gånger.

Får du verkligen göra det, ifall inte a har ett specifikt värde? ( Tillta på hur uttrycket ser ut efter en gång med l'hospital.)

Dr. G skrev:
Aha, du körde l'hospital två gånger.
Får du verkligen göra det, ifall inte a har ett specifikt värde? ( Tillta på hur uttrycket ser ut efter en gång med l'hospital.)

Efter en derivering blir väl både täljare och nämnare isåfall 0? Det är i dessa fall jag lärt mig att jag ska fortsätta derivera (tills det inte längre blir så)

Efter derivering en gång har du

$\dfrac{a\cos ax - \frac{1}{1+x}}{a\sin ax}$

när x går mot 0 så är detta på formen

$\dfrac{a-1}{0}$

så du kan bara fortsätta med l'hospital om a = ...

Dr. G skrev:
Efter derivering en gång har du
$\dfrac{a\cos ax - \frac{1}{1+x}}{a\sin ax}$
när x går mot 0 så är detta på formen
$\dfrac{a-1}{0}$
så du kan bara fortsätta med l'hospital om a = ...

Jaha, då är jag med. Tack!

Är du med på att det räcker med att köra l'hospital en gång?

Svara

Visa senaste svar