Gränsvärde beräkning

Uppgift:

Beräkna utan räknare

$\lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 2 x - 8}{4 x - x^{2}}$

Min lösningsmetod:

Först så bytte jag ut x mot 4 och förenklade

$\frac{4 \times 4 - 2 \times 4 - 8}{4 \times 4 - 4^{2}} \frac{4^{2} - 16}{4 (4 - 4)} = \frac{4 (4 - 4)}{4 (4 - 4)} = 1$

(Sidenote: jag inser att jag borde förenklat innan jag bytte ut x mot 4, så slå mig inte över huvudet med det, men jag vet ärligt talat inte vad jag ska förenkla den till. Någon kanske kan hjälpa mig med förenklingen?)

Problem:

I facit så står det att värdet ska bli -1,5. Hur är detta möjligt?!

Hej,

När $x\to 4$ går nämnaren mot noll. Gränsvärdet kan bara existera om täljaren också går mot noll på något (lämpligt) sätt.

Det du gör fel i din lösning är att du låter $x=4$ innan du löst problemet med att det innebär att du delar med noll. Det är förbjudet att dela med 0. Innan du låter $x=4$ måste du därför undersöka om det går att förkorta bort det problemet så att gränsvärdet faktiskt existerar.

Vi undersöker om täljaren kan faktoriseras

$x^2-2x-8=0$ ger oss två rötter, $x=4$ och $x=-2$ . Det går självklart bra att faktorisera m.h.a annan metod också, t.ex. gissning, kvadratkomplettering eller identifikation. Täljaren kan alltså skrivas

$x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$

Sätter vi ihop täljare och nämnare får vi

$\lim_{x\to4}\frac{(x-4)(x+2)}{x(4-x)}$

Kommer du vidare nu?

Tack, då borde man få $\frac{x + 2}{x}$ , och då antar jag att vi nu kan byta ut x mot 4?

Om mitt antagande är rätt här så får vi då svaret 1,5. Det finns dock två problem här:

1. I facit så står det minus 1,5. Vi ska inte få något positivt värde.

2. Hur vet jag i framtiden hur jag ska skriva om ekvationer på formen som du gjorde? Finns det någon regel (som kanske liknar konjugatregeln tex) som jag kan använda mig av när jag ska skriva om $x^{2} - 2 x - 8$ till $(x - 4) (x + 2)$ ? Ifall att denna regel inte finns så kommer det bli rörigt i huvudet för mig.

Tack för svaret iallafall.

1. Då gissar jag att du inte har sett att det står x-4 i täljaren men 4-x i nämnaren? Tar du hänsyn till det, så blir svaret negativt.

2. Om det är ett andragradsuttryck: pq-formeln. Ibland går det att hitta enklare vägar, men pq-formeln funkar alltid.

Oj, jag såg inte det. Tack för att du sa det. I mitt försvar så var jag nyvaken när jag såg det där, haha.

Då bryter jag ut en negativ etta från nämnaren, och får $\frac{(x - 4) (x + 2)}{- x (- 4 + x)} = \frac{(x - 4) (x + 2)}{- x (x - 4)} = \frac{x + 2}{- x} = - 1, 5$

Tack igen!

Svara

Visa senaste svar