Gränsvärde av talföljder

Hej!

Sitter med denna uppgift (b och c)

och jag löser uppgiften med att bryta ut n och ser att b divergerar medans c konvergerar till 0 (använder alltså samma metod som i envariabeln). Jag undrar dock om detta är sättet som är avsett för att lösa uppgiften. För att från kapitlet fås följande.

För första definitionen behöver jag veta gränsvärdet a så jag måste hitta a innan jag kan applicera metoden. Men är def mer till för en rigorös kontroll att gränsvärdet har värdet a. Är tanken att jag ska kontrollera efter jag hittat gränsvärdet? och om gränsvärdet divergerar, ska jag då kontrollera med den andra def?

Kanske det enklaste sättet att använda definitionen är att om gränsvärdet då n går mot oändligheten inte är ett specifikt tal (reellt, om inget annat anges), då är talföljden divergent. Om vi beräknar gränsvärdet av uttrycket i (b) får vi:

$\lim_{n \to \infty} (a_{n}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{{(n^{2} + 1)}^{2}}{(n + 1) (n + 2) (n + 3)}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{n^{4} + 2 n^{2} + 1}{(n + 1) (n + 2) (n + 3)}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{\frac{n^{4}}{n^{4}} + \frac{2 n^{2}}{n^{4}} + \frac{1}{n^{4}}}{\frac{(n + 1) (n + 2) (n + 3)}{n^{4}}}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{\frac{1}{n}}) = \lim_{n \to \infty} (n) \to \infty$

Eftersom serien inte går mot ett tal, är talföljden divergent. :)

Är så jag har gjort men jag antar att de borde vara tillräckligt. För om man tar ett enklare exempel som $a_{n} = 1 / n$ så vet jag att detta klart konvergerar mot noll. Men om jag använder enligt def så

$|\frac{1}{n} - 0| < ε$ => (n>=1) => $\frac{1}{n} < ε$ =>(olikhetstecknet oförändrat då eps o n positivt) => $\frac{1}{ε} < n$ . Sätter $N > \frac{1}{ε}$ och $n > N$ så att slutligen $\frac{1}{n} - 0 < \frac{1}{N} < \frac{1}{\frac{1}{ε}} = ε$ .

Vilket är (känns) som ett annat sätt. Jag försökte detta sätt med c lyckades inte alls. Men det kanske inte behövs om jag ändå finner gränsvärdet (eller ej) precis som i envaren.

Har du löst c) ?

yes! :)

Svara

Visa senaste svar