Gränsvärde av binomialkoefficient.

Jag ska beräkna följande gränsvärde:

$\lim_{n \to \infty} (\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix}) A l l t s å e t t g r ä n s v ä r d e p å f o r m e n " \frac{\infty}{\infty} "$

Jag har börjar så här:

$(\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix}) = \frac{(2 n)!}{n! n!} = \frac{(2 n) (2 n - 1) . . . 3 \times 2 \times 1}{n! n!}$

Jag faktoriserar sedan ut alla jämna tal:

$\frac{(2 n) (2 n - 2) (2 n - 4) . . . 2 \times (2 n - 1) (2 n - 3) . . . 3 \times 1}{n! n!}$

Jag faktoriserar ut alla tvåor från de jämna:

$\frac{2^{n} n! (2 n - 1) (2 n - 3) . . . 3 \times 1}{n! n!} = 2^{n} \frac{(2 n - 1) (2 n - 3) . . . 3 \times 1}{n!}$

Men sedan fastnar jag..

Denna formel kan vara användbar:

https://proofwiki.org/wiki/Approximation_to_x%2By_Choose_y

Wow vilken bra formel!

(Kan skriva ut uträkningen)

$\lim_{x, y \to \infty} (\begin{matrix} x + y \\ y \end{matrix}) = \sqrt{\frac{1}{2 π} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})} {(1 + \frac{y}{x})}^{x} {(1 + \frac{x}{y})}^{y}$

I mitt exempel sätter vi x=y=n:

$\lim_{n \to \infty} (\begin{matrix} n + n \\ n \end{matrix}) = \sqrt{\frac{1}{2 π} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n})} {(1 + \frac{n}{n})}^{n} {(1 + \frac{n}{n})}^{n}$

Som efter lite omskrivingar ger:

$\lim_{n \to \infty} (\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix}) = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{1}{n π}} \times 2 \times 2^{n} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n}}{\sqrt{n π}} = \frac{2}{\sqrt{π}} \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n}}{\sqrt{n}} = " \frac{2}{\sqrt{π}} \infty " = \infty$

I det sista steget har jag använt mig av jämförelsesatsen:

$\lim_{x \to \infty} \frac{a^{x}}{x^{α}} = \infty O m a > 1 o c h α > 0$

Svara