Gränsvärde
Hur räknar jag ut gränsvärdet förlimh→0e-1h2h ?
Jag använde L'Hoptals regel och fick limh→02e-1h^2h3 vilket inte gjorde saken enklare.
Jag har inte löst den, men vad händer om du logaritmerar täljare och nämnare?
MacLaurinutveckla e-1/x2.
Lemma.
Om limh→0|f(h)|=0 så är limh→0f(h)=0.
Bevis: övning.
Betrakta nu
limh→0|e-1/h2h| = (sätt t = 1/h2, om h går mot noll så går t mot ∞ och |h|=1/√t) =
limt→∞√te-t = (standardgränsvärde) = 0. Därmed går det sökta gränsvärdet också mot 0.
PATENTERAMERA skrev:Lemma.
Om limh→0|f(h)|=0 så är limh→0f(h)=0.
Bevis: övning.
Betrakta nu
limh→0|e-1/h2h| = (sätt t = 1/h2, om h går mot noll så går t mot ∞ och |h|=1/√t) =
limt→∞√te-t = (standardgränsvärde) = 0. Därmed går det sökta gränsvärdet också mot 0.
![]()
Tack så mycket för hjälpen! Får jag fråga vart du fick limh→0 |f(h)|=0 ger att limh→∞f(h)=0
ifrån? Tror inte att jag har stött på en sådan sats?
Det är nästan trivialt.
||f(h)|-0|=||f(h)||=|f(h)|=|f(h)-0|.
Så om ||f(h)|-0|<ε så är |f(h)-0|<ε.
Tillägg: 23 sep 2023 14:31
Har aldrig sett denna sats i någon bok. Anses troligen för trivialt för att nämnas.
Jag testade att använda Taylorutveckling såhär:
limh→01-1h2+12h4-16h6...h=limh→0 1h+12h5-16h7
termerna går mot +/- oändligheten då h går mot noll, finns det att sätt att gå vidare för att bestämma att gränsvärdet är 0?
Maclaurin var visst inte något vidare råd jag gav denna gången.
Tomten skrev:Maclaurin var visst inte något vidare råd jag gav denna gången.
Philip22 skrev:Tomten skrev:Maclaurin var visst inte något vidare råd jag gav denna gången.
Har en liknade uppgfit. Jag (tror) jag lyckades få fram gränsvärdet med hjälp av MacLaurin för e^(1/h^2) / h.
Man testade att göra det på 2e^(1/h^2) / h^3, men då fick jag inte fram någon lösning.
Jag har förstått det som att H'lopitals regel bygger på Taylorutveckling/MacLaurin polynom och därför borde det funka att använda MacLaurin på 2e^(1/h^2) / h^3 eftersom att jag fick det att funka för e^(1/h^2) / h. Eller tänker jag fel?