Gränsvärde

Jag har inte löst den, men vad händer om du logaritmerar täljare och nämnare?

MacLaurinutveckla e^-1/x2.

Lemma.

Om $\underset{h\to 0}{\lim }\left|f\left(h\right)\right|=0$ så är $\underset{h\to 0}{\lim }f\left(h\right)=0$.

Bevis: övning.

Betrakta nu

$\underset{h\to 0}{\lim }\left|\frac{e^{-1/h^2}}{h}\right|$ = (sätt t = 1/h², om h går mot noll så går t mot $\infty$ och $\left|h\right|=1/\sqrt{t}$) = 

$\underset{t\to \infty }{\lim }\sqrt{t}{e}^{-t}$ = (standardgränsvärde) = 0. Därmed går det sökta gränsvärdet också mot 0.

PATENTERAMERA skrev:

Lemma.

Om $\underset{h\to 0}{\lim }\left|f\left(h\right)\right|=0$ så är $\underset{h\to 0}{\lim }f\left(h\right)=0$.

Bevis: övning.

Betrakta nu

$\underset{h\to 0}{\lim }\left|\frac{e^{-1/h^2}}{h}\right|$ = (sätt t = 1/h², om h går mot noll så går t mot $\infty$ och $\left|h\right|=1/\sqrt{t}$) = 

$\underset{t\to \infty }{\lim }\sqrt{t}{e}^{-t}$ = (standardgränsvärde) = 0. Därmed går det sökta gränsvärdet också mot 0.

 

Tack så mycket för hjälpen! Får jag fråga vart du fick $\underset{h\to 0}{\lim } \left|f\left(h\right)\right|=0 ger att \underset{h\to \infty }{\lim }f\left(h\right)=0$

ifrån? Tror inte att jag har stött på en sådan sats?

Det är nästan trivialt.

$\left|\left|f\left(h\right)\right|-0\right|=\left|\left|f\left(h\right)\right|\right|=\left|f\left(h\right)\right|=\left|f\left(h\right)-0\right|$.

Så om $\left|\left|f\left(h\right)\right|-0\right|<\epsilon$ så är $\left|f\left(h\right)-0\right|<\epsilon$. 

Tillägg: 23 sep 2023 14:31

Har aldrig sett denna sats i någon bok. Anses troligen för trivialt för att nämnas.

Jag testade att använda Taylorutveckling såhär:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-{\displaystyle \frac{1}{h^2}}+{\displaystyle \frac{1}{2h^4}}-{\displaystyle \frac{1}{6h^6}...}}{h}=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{1}{h}+\frac{1}{2h^5}-\frac{1}{6h^7}$

termerna går mot +/- oändligheten då h går mot noll, finns det att sätt att gå vidare för att bestämma att gränsvärdet är 0?

Maclaurin var visst inte något vidare råd jag gav denna gången.

Tomten skrev:

Maclaurin var visst inte något vidare råd jag gav denna gången.

Philip22 skrev:

Tomten skrev:

Maclaurin var visst inte något vidare råd jag gav denna gången.

Har en liknade uppgfit. Jag (tror) jag lyckades få fram gränsvärdet med hjälp av MacLaurin för e^(1/h^2) / h.

Man testade att göra det på 2e^(1/h^2) / h^3, men då fick jag inte fram någon lösning. 

Jag har förstått det som att H'lopitals regel bygger på Taylorutveckling/MacLaurin polynom och därför borde det funka att använda MacLaurin på 2e^(1/h^2) / h^3 eftersom att jag fick det att funka för e^(1/h^2) / h. Eller tänker jag fel?