Gränsvärde

Nämnaren kan skrivas om till (x-4)(x+3). Den första faktorn kommer explodera då x->4, därmed vill du kunna hitta en likadan faktor i täljaren som eliminerar den. Kolla därmed för vilka a som x=4 är en rot till täljaren.

Calle_K skrev:

Nämnaren kan skrivas om till (x-4)(x+3). Den första faktorn kommer explodera då x->4, därmed vill du kunna hitta en likadan faktor i täljaren som eliminerar den. Kolla därmed för vilka a som x=4 är en rot till täljaren.

Jag förstår inte riktigt vad du menar med det du har skrivit. 

Kan vi ta det steg för steg? 

Genom att faktorisera (i detta fall kvadratkomplettera) nämnaren kan vi undersöka orsaken till att uttrycket divergerar. Nämnaren kan skrivas om till (x-4)(x+3) och genom att låta x->4 inser vi att det är faktorn (x-4) som orsakar divergensen. Därmed vill vi bryta ut samma faktor i täljaren för att kunna stryka den. Går det inte att hitta samma faktor i täljaren kommer vi inte kunna få bort faktorn från nämnaren och därmed kommer uttrycket divergera (dvs det existerar inget gränsvärde). Det går att bryta ut faktorn (x-4) från täljaren om x=4 är en rot till uttrycket som står i täljaren.

Calle_K skrev:

Genom att faktorisera (i detta fall kvadratkomplettera) nämnaren kan vi undersöka orsaken till att uttrycket divergerar. Nämnaren kan skrivas om till (x-4)(x+3) och genom att låta x->4 inser vi att det är faktorn (x-4) som orsakar divergensen. Därmed vill vi bryta ut samma faktor i täljaren för att kunna stryka den. Går det inte att hitta samma faktor i täljaren kommer vi inte kunna få bort faktorn från nämnaren och därmed kommer uttrycket divergera (dvs det existerar inget gränsvärde). Det går att bryta ut faktorn (x-4) från täljaren om x=4 är en rot till uttrycket som står i täljaren.

Jag förstår alltig förutom sista steget. 

Jag vet att $x²-9x-a$går att skrivas så här: $x²-4x-5x-a = x(x-4)-5x-a =$

Men man kan fortfarande inte stryka (x-4) i täljaren med den som finns i nämnaren, eller hur? 

Nej precis, vi måste skriva om täljaren till formen (x-4)(x+c) där c är en godtycklig konstant.

Det enklaste sättet är kanske att bryta ut de uttrycket jag skrev ovan för att sedan identifiera c. När vi gör detta kommer det framgå vilket värde a måste ha.

Det jag försökte förklara innan var att varje ekvationen på formen x²+ax+b kan skrivas om till (x-r₁)(x-r₂) där r₁ och r₂ är rötterna till x²+ax+b. Därmed kan vi undersöka om vi kan skriva om en ekvation till formen (x-4)(x-c) för något godtyckligt c genom att kolla om x=4 är en rot till ekvationen i fråga.