Gränsvärde

För att talföljden ska ha gränsvärde så måste skillnaden mellan talen minska hela tiden tills det blir ungefär 0.

$$\begin{gathered} d.v.s a_{n+1}-a_n\approx 0 vilket betyder att a_{n+1}\approx a_n . Gränsvärdet betyder att a_{n+1}\to a_n när n\to \infty \\ om vi säger att de blir lika när a_{n+1}= a_n=a\left(gränsvärdet\right) så gäller det att a=1+\frac{1}{a} \\ Nu ska vi hitta gränsvärdet, alltså a och det gäller att bara lösa ekvationen a = 1+\frac{1}{a} \\ Multiplicera båda leden med a så får du en andragradsekvation. \end{gathered}$$

Kommer du vidare?

Varför behöver jag multiplicera båda leden med a? Jag kom vidare men fick fel svar...

Du ska lösa ekvationen a = 1 + 1/a, och om du multiplicerar den med a så får du en ekvation du kan lösa.

Vad fick du för svar och hur gjorde du?

a² = a+1

a= 0.5+(-)$\sqrt{0.25+1}$

a₁ = 1.6180339...

a₂ = -0.6180339....

jag förstår inte riktigt hur ni kom fram till att man ska multiplicera båda leden med a....?

Hur skulle du lösa ekvationen $a=1+\frac{1}{a}$annars?

Man vill helst inte ha det obekanta i nämnaren, därför multiplicerar man ekvationens båda led med a så blir man av med a:et i nämnaren.

$$\begin{gathered} a\times a=(1+\frac{1}{a})\times a \\ {a}^2=a+1 \end{gathered}$$

Annars kan du göra så här:

$a=1+\frac{1}{a} \iff a=\frac{a+1}{a}$

Sen gör du en korsmultiplikation så får du samma ekvation.

okej tack!