Gränsvärde

Hej!

Jag behöver hjälp med följande:

"x går mot oändligheten" $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{2 x - 1}$

När jag skulle lösa denna uppgift så tänkte jag att jag kan ta bort 1 i både närmanren (-1) och täljaren. Jag tänkte nämligen att 1:orna inte skulle påverkas gränsvärdet eftersom x går mot oändligheten.

$\frac{\sqrt{x^{2}}}{2 x}$ ---> jag fick detta uttryck efter att jag tagit bort 1 och -1.

$\frac{x}{2 x}$

$\frac{1}{2}$ Detta är rätt svar, men är min metod rätt. Är det okej att ta bort tal om man motiverar detta med att dessa inte kommer påverka mycket då x går mot oändligheten.

Prova att multiplicera med 1/x uppe och nere. Lyft in det övre under roten och se om det finns tydliga termer som går mot noll.

Det du kan göra generellt:

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{2 x - 1} = \frac{\sqrt{x^{2} (1 + \frac{1}{x^{2}})}}{x (2 - \frac{1}{x})} = \frac{x \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{x (2 - \frac{1}{x})} = \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{2 - \frac{1}{x}} . d å d e t t a g å r m o t o ä n d l i g h e t e n f å r d u : \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2} .$

Generellt brukar man dividera med största exponenten.

Så får du absolut göra, men du får inte svara så.

Du har tagit fram lite informellt att det går mot en 1/2, men du måste nu visa detta algebraiskt. Det du har gjort är dock mycket bra. Det är en bra idé att först ta fram svaret så att man har något att jämföra med. Om du nu skulle få 4, så vet du att du har resonerat fel någonstans.

Med andra ord, du har approximerat gränsvärdet. För stora $x$ så kan vi säga att:

$\sqrt{x^2+1} \approx x$ och att $2x-1 \approx 2x$ vilket ger att gränsvärdet är:

$\approx \dfrac{x}{2x} = 1/2$ .

Något annat att notera är att $\sqrt{x^2} = |x|$ men x är $0 \leq x <>$ .

Tack för svaren!

Svara

Visa senaste svar