Gränsvärde

$\frac{\sin \left(3x\right)}{2x}= \frac{3}{2}*\frac{\sin \left(3x\right)}{3x}$

sin(a)/a är ett standardgränsvärde som går mot 1 när a går mot 0

Du försöker stänga in sinus, vilket är en bra tanke. Så vad är fel?

Fyll i nedan.

$\dfrac{A}{2x} \rightarrow$? när $x \rightarrow 0$, där $A$ är en konstant.

i min bok står det så här. Hur vet man att man får ta ut 3/2 på det där sättet?

Dracaena skrev:

Du försöker stänga in sinus, vilket är en bra tanke. Så vad är fel?

Fyll i nedan.

$\dfrac{A}{2x} \rightarrow$? när $x \rightarrow 0$, där $A$ är en konstant.

Kvoten går mot oändligheten 

Nej, det stämmer inte.

$\dfrac{1}{x}$ saknar ett gränsvärde då $x=0$.

Anledning är att:

$L_1= \dfrac{1}{x} \rightarrow \infty$ då $x \rightarrow 0^+$

$L_2= \dfrac{1}{x} \rightarrow -\infty$ då $x \rightarrow 0^-$

Eftersom $L_1 \neq L_2$ existerar inte gränsvärdet.

offan123 skrev:

i min bok står det så här. Hur vet man att man får ta ut 3/2 på det där sättet?

Man bryter ut 3/2 ur kvoten, inget mystiskt med det. Hemligheten är att veta att man ska göra så.

om du tycker sin(3x)/3x avviker från ditt standardgränsvärde så kan du substituera 3x = t och låta t gå mot 0

sin(3x)/2x det står ju 2x i nämnaren, då kan man väl inte skriva 3x=t?

när du brutit ut 3/2 då står det 3x i nämnaren, se inlägg #2

Ture skrev:

när du brutit ut 3/2 då står det 3x i nämnaren, se inlägg #2

Yes, ser det. Men hur vet du vad du får bryta ut med? Är det framför x i täljaren resp. nämnaren som avgör vad man ska bryta ut? 

Vi har förlängt med 1:

$\dfrac{3}{3}=1$

Vi använder att: 

$(1) \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{AC}{BD}$

Vi har från början: $\dfrac{\sin(3x)}{2x} = \dfrac{1}{2} \dfrac{\sin(3x)}{x}$, se $(1)$

Förläng nu med 1 i form av 3/3:

$\dfrac{3}{3} \dfrac{1}{2} \dfrac{\sin(3x)}{x} = \dfrac{3}{2} \dfrac{\sin(3x)}{3x}$.

Hur visste Ture att det var lämpligt att förlänga med 3/3?

Eftersom vi har $\sin (3x)$ vill vi återskapan det i nämnaren så vi har ett standardgränsvärde. Om nämnaren inte har en faktor 3 i sig så förlänger vi med 1 så att vi får en faktor 3 i nämnaren.

Dracaena skrev:

Vi har förlängt med 1:

$\dfrac{3}{3}=1$

Vi använder att: 

$(1) \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{AC}{BD}$

Vi har från början: $\dfrac{\sin(3x)}{2x} = \dfrac{1}{2} \dfrac{\sin(3x)}{x}$, se $(1)$

Förläng nu med 1 i form av 3/3:

$\dfrac{3}{3} \dfrac{1}{2} \dfrac{\sin(3x)}{x} = \dfrac{3}{2} \dfrac{\sin(3x)}{3x}$.

Hur visste Ture att det var lämpligt att förlänga med 3/3?

Eftersom vi har $\sin (3x)$ vill vi återskapan det i nämnaren så vi har ett standardgränsvärde. Om nämnaren inte har en faktor 3 i sig så förlänger vi med 1 så att vi får en faktor 3 i nämnaren.

3:an framför x i täljare och nämnare kommer inte heller påverka om x går mot noll, funkar precis som om det bara var 1*x?

x $\stackrel{}{\to }$0 så blir det 3/2*1=3/2

Svar: gränsvärdet går då mot 3/2