Gränsvärde

Hej,

det gäller inte i allmänhet att:

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)}^2$

Vad? 

Till exempel tappar du i det här fallet bort att gränsvärdet måste vara negativt, eftersom täljaren är negativ och nämnaren är positiv.

Sedan har du beräknat kvadraten av ett gränsvärde, inte gränsvärdet.

Prova t.ex. att beräkna gränsvärdet:

$\lim_{x \to -\infty}\frac{x}{|x|}$ med den metoden.

Yngve skrev:

Till exempel tappar du i det här fallet bort att gränsvärdet måste vara negativt, eftersom täljaren är negativ och nämnaren är positiv.

Sedan har du beräknat kvadraten av ett gränsvärde, inte gränsvärdet.

hänger inte riktigt med. Men det är inte gränsvärdet som ska vara negativ, utan det är x som går mot minus oändligheten alltså $-\infty$. 

Men jag gjorde samma sak både i täljaren och nämnaren så borde det som rationella uttrycket ger inte ändras. 

tomast80 skrev:

Prova t.ex. att beräkna gränsvärdet:

$\lim_{x \to -\infty}\frac{x}{|x|}$ med den metoden.

Ser man $\sqrt{}$som |   |  för att vi har $x^2$??

I am Me skrev:

Yngve skrev:

Till exempel tappar du i det här fallet bort att gränsvärdet måste vara negativt, eftersom täljaren är negativ och nämnaren är positiv.

Sedan har du beräknat kvadraten av ett gränsvärde, inte gränsvärdet.

hänger inte riktigt med. Men det är inte gränsvärdet som ska vara negativ, utan det är x som går mot minus oändligheten alltså $-\infty$. 

Men jag gjorde samma sak både i täljaren och nämnaren så borde det som rationella uttrycket ger inte ändras. 

Är 3/1 =(3/1)^2?

I am Me skrev:

hänger inte riktigt med. Men det är inte gränsvärdet som ska vara negativ, utan det är x som går mot minus oändligheten alltså $-\infty$. 

Ja, x går mot minus oändligheten, dvs x är negativ. Då är täljaren negativ och nämnaren positiv. Alltså är uttrycket negativt.

Pröva själv med t.ex. x = -1, x = -100, x = -1000 o.s.v.

Eller rita grafen till $f(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{3x^2+x+1}}$ på din grafräknare, Desmos.com eller på annat sätt.

Men jag gjorde samma sak både i täljaren och nämnaren så borde det som rationella uttrycket ger inte ändras. 

Jo, det ändras på två sätt:

1. Du tappar informationen om vilket tecken det rationella uttrycket har.
2. Uttrycket ändrar värde (om det inte är lika med 0 eller 1

Som exempel kan vi ta uttrycket $\frac{-2}{3}$, vilket är mindre än $0$.

Om du kvadrerar det får du $\frac{(-2)^3}{3^2}=\frac{4}{9}$, vilket är större än $0$.

$\frac{-2}{3}\neq\frac{4}{9}$

Smutsmunnen skrev:

I am Me skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

Till exempel tappar du i det här fallet bort att gränsvärdet måste vara negativt, eftersom täljaren är negativ och nämnaren är positiv.

Sedan har du beräknat kvadraten av ett gränsvärde, inte gränsvärdet.

hänger inte riktigt med. Men det är inte gränsvärdet som ska vara negativ, utan det är x som går mot minus oändligheten alltså $-\infty$. 

Men jag gjorde samma sak både i täljaren och nämnaren så borde det som rationella uttrycket ger inte ändras. 

Är 3/1 =(3/1)^2?

 Nej, så det var det du menade med lim x→∞f(x)g(x)$\ne$lim x→∞(f(x)/g(x))^2