Gränsvärde

Jag hade brytit ut $2^x$ i täljaren och $3^x$ i nämnaren istället.

Jag testade det från början men då får man oändligheten i parenteserna

Kan du visa? =)

Du har inte gjort fel vad jag kan se, men jag hade gjort det en vana att inte släpa med onödiga faktorer.

Är det inte lättare att bryta ut samma dominerande faktor från både täljare och nämnare? Bryt ut $3^x$: 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{{\displaystyle \frac{x^3·2^x}{3^x}}+{\displaystyle \frac{x}{3^x}}+{\displaystyle \frac{1}{3^x}}}{{\displaystyle \frac{x^2·3^x}{3^x}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2x}}{3^x}}}\right)$

$\frac{2^x}{3^x}$ går mot noll fortare än $x^3$ går mot oändligheten, så den termen blir noll. Hela täljaren kommer att gå mot noll. $\frac{x^2·3^x}{3^x}$ förenklas till $x^2$, så nämnaren går mot oändligheten, och gränsvärdet blir då noll. 

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2^x\left(x^3+{\displaystyle \frac{x}{2^x}}+{\displaystyle \frac{1}{2^x}}\right)}{3^x\left(x^2+{\displaystyle \frac{\sqrt{2x}}{3^x}}\right)}=0\times \frac{\left(\infty +0+0\right)}{\left(\infty +0\right)}$

Hur vet man att $\frac{2^x}{3^x}$ går mot noll fortare än $x^3$ går mot oändligheten då?

“Hur vet man att (2/3)^x går mot noll fortare än x^3 går mot oändligheten?”

Bra fråga. Inte jätteenkelt att visa, det finns troligen ett bevis i kursboken. Grovt kan man säga att a^x vinner över x^b som vinner över log x. Men titta på bevis för detaljer.