gränsvärde

Hej

jag har en uppgift där man ska bestämma gränsvärdet genom att först göra ett variabelbyte:

Bestäm gränsvärdet för $\frac{l i m}{x \to 0} \frac{a r c \tan 2 x}{3 x}$

Ska man börja med att göra ett variabelbyte så att man får $t = a r c \tan x \Rightarrow x = \tan t x \to 0 \Rightarrow t \to 0$

svaret ska bli 2/3

Om man ska göra ett variabelbyte så skulle jag gjort $t = \arctan(2x)$ , då är $x = \frac{1}{2}\tan(t)$ . Så man får gränsvärdet

$\lim_{t \to 0} \frac{2 t}{3 \tan (t)} = \frac{2}{3} \lim_{t \to 0} \frac{t \cos (t)}{\sin (t)} = \frac{2}{3} (\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin (t)}) \cdot (\lim_{t \to 0} \cos (t))$

Svara