gränsvärde

Beräkna gränsvärdet

$\lim_{x \to 2} (\frac{1}{x - 2} - \frac{12}{x^{3} - 8}) G e m e n s a m n ä m n a r e \lim_{x \to 2} (\frac{x^{3} - 12 x + 16}{(x - 2) (x^{3} - 8)})$

Tanken är att jag ska utföra polynomdivision. Jag har bara gjort när nämnaren består av en term. Hur går man tillväga med två termer?

Eftersom $x$ ska gå mot $2$ måste kvoten, för att gränsvärdet ska existera, visa sig hävbart i faktorn $(x-2)$

Från gymnasiet eller inledande analys kommer vi ihåg att

$(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^3)$

Alltså är

$(x^3-8)=(x-2)(\dots$

Kommer du vidare?

nej jag förstår inte, finns det en annan förklaring/lösning ?

Eftersom 8 = 2³ så kan uttrycket x³ - 8 skrivas som x³- 2³.

Faktorisera detta uttryck innan du fortsätter med att ta fram en gemensam nämnare.

$(\frac{1}{x - 2} - \frac{12}{x^{3} - 8}) = (\frac{1}{x - 2} - \frac{12}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)})$

Det förstår jag sen,

Under gemensam nämnare

$\frac{x^{2} + 2 x + 2 - 12 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Härifrån vet jag inte vad jag ska göra annat än att utveckla täljaren. Men i facit så använder dem polynom division:

Vilket är det lösningen jag försöker förstå mig på, det jag skrev från början. Tänker ni på samma bana?

nteran skrev:
$(\frac{1}{x - 2} - \frac{12}{x^{3} - 8}) = (\frac{1}{x - 2} - \frac{12}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)})$

Det förstår jag sen,

Under gemensam nämnare

$\frac{x^{2} + 2 x + 2 - 12 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Det här stämmer inte. För att få gemensam nämnare ska du förlänga första termen med x²+2x+4. Andra termen behöver du inte förlänga alls.

Härifrån vet jag inte vad jag ska göra annat än att utveckla täljaren.

Du kan förenkla och sedan faktorisera täljaren. Du kommer då att se att även täljaren innehåller en faktor (x-2), vilket gör att du kan förkorta den och sedan sätta in värdet x = 2 i uttrycket.

Svara

Visa senaste svar