Gränsvärde

Hej

På den första menar du $\frac{\sqrt{1+2x-1}}{2x}$ eller $\frac{\sqrt{1+2x-1}}{2}x$? Jag antar att du menar den första du kan förenkla det till $\frac{\sqrt{2x}}{2x}=\frac{1}{\sqrt{2x}}$. Vad händer om du testar och räkna från $\underset{x{\to }^{+}0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{2x}}$ och $\underset{x{\to }^{-}0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{2x}}$ får du samma värde då?

På den andra frågan kan du gör följande $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(2^x-1\right)}{{\displaystyle \frac{d}{dx}}\left(x\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }{2}^x·\ln \left(2\right)$. Kommer du vidare?

Edit: På den andra uppgiften så kan du också utgå ifrån frågan vad är derivatan av $2^x$ vi kan ta hjälp av derivatans definition (Inget du behöver göra, bara en liten avstickare):

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=2^x\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2^{x+h}-2^x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2^x\left(2^h-1\right)}{h}=2^x\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2^h-1}{h} \\ \underset{h\to 0}{\lim }\frac{2^h-1}{h}=k\iff k=\ln \left(2\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2^x·\ln \left(2\right) \end{gathered}$$ 

(uppgift 1)

Nej jag förstår ändå inte hur jag ska gå vidare från  $\sqrt{2x}÷2x$  Förstår heller inte hur man gör om det till $1÷\sqrt{2x}$

Förstår att det finns ett samband mellan ifall x är oändligt stort så är gränsvärdet någonting och ifall x är oändligt litet så är gränsvärdet någonting. 

$\frac{\sqrt{2x}}{2x}=\sqrt{\frac{2x}{4x^2}}=\sqrt{\frac{1}{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}$, är du med på det?

Om du låter $\underset{x{\to }^{+}0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{2x}}=\infty$, vad blir då $\underset{x{\to }^{-}0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{2x}}$?

Jag förstår inte hur man får (2x^0.5)/2x till (2x/4x^2)^0.5

Inte heller hur man flyttar ner roten-ur tecknet från (1/2x)^0.5 till 1/(2x)^0.5

mvh

Tänk att $\sqrt{\frac{1}{2x}}$= $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2x}}$  och  $\sqrt{1}=1$

ok jag förstår hur man får fram det som jonis10 har skrivit och jag förstår att ifal man låter x gå mot -0 så blir svaret -oändligheten

men hur får man ut svaret 0,5 (vilket jag läst i facit) utav detta?

Så som du har skrivit av uppgiften går gränsvärdet mot oändligheten. Jämför det su skrev med uppgiften i boken och kolla vad som blivit fel. Det du skrev kan förenklas så att det bara blir 2x i parentesen, det kanske skall vara annorlunda?

Ska det kanske vara:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+2x}-1}{2x}$

?

Ja det stämmer Stokatiskt, ursäkta missförståndet.

Jag tänker nu då att jag kan höja upp nämnare och täljare med ^2 och då blir av med roten ur tecknet. Får då fram 2x/4x vilket blir 1/2 eller 0,5 vilket stämmer i facit.

Men vad händer med min variabel? borde det inte bli 0,5x?

mvh

Du blir inte av med roten genom att upphöja till 2 - du måste använda kvadreringsregeln när du kvadrerar, och då blir roten kvar i alla fall. Dessutom ändrar du värdet på uttrycket om du kvadrerar - du måste förlänga täljare och nämnare med SAMMA tal.

Hej!

Du vill alltså studera gränsvärdet

    $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+2x}-1}{2x}\ .$

Steg 1. Eftersom man inte kan beräkna kvadratrot för negativa tal så måste $1+2x \geq 0$, det vill säga att $x\geq -0.5\ .$ Observera att $x$ inte får vara lika med noll, eftersom då är nämnaren $2x$ lika med noll och man får inte dividera med noll. Du kan alltså låta $x$ ligga i intervallet $(0,\infty)$ eller i intervallet $(-0.5,0)$.

Steg 2. Förläng kvoten med täljarens konjugatuttryck, för att göra det enklare att se vad gränsvärdet skulle kunna vara.

    $\frac{\sqrt{1+2x}-1}{2x} = \frac{(\sqrt{1+2x}-1)(\sqrt{1+2x}+1)}{2x(\sqrt{1+2x}+1)} = \frac{1+2x - 1}{2x(\sqrt{1+2x}+1)} = \frac{1}{\sqrt{1+2x}+1}\ .$

Steg 3. När talet $x$ närmar sig noll kommer nämnaren att närma sig talet $\sqrt{1} + 1 = 2\ .$

    Vad händer då med kvoten?

Albiki

Eftersom det står att du bara ska välja mindre och mindre x så är det du ska göra att beräkna vad uttrycket är lika som för några små x. Exempelvis $x = 0.1$, $x = 0.01$, $x = 0.000001$ osv.

Sen bestämmer du det värde som det troligtvis närmar sig från detta "experimenterande".

Ok!

Jag förstår hur man får fram 0.5 nu.

Däremot har fortfarande inte fått grepp om vad det innebär att talet/x-värdet "går" mot nånting?