Gränsvärde - ln(1+x)/x ska bli 1 då x går mot 0

De använder sig av att $\underset{t\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t=e$, vilket är ett känt standardvärde, då det är ett sätt att approximera e. :)

Smutstvätt skrev:

De använder sig av att $\underset{t\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t=e$, vilket är ett känt standardvärde, då det är ett sätt att approximera e. :)

hur blir det sedan 1 då?

För att du har hela gränsvärdet innuti ln, så det blir ln(e) =1

Micimacko skrev:

För att du har hela gränsvärdet innuti ln, så det blir ln(e) =1

det där var lite svårt för mig att förstå i det steget, hur går det ens att lim blir innuti ln?

Vilket gränsvärde är det du skall beräkna? Är det $\frac{\ln(1+x)}{x}$ eller $\ln(\frac{1+x}{x})$? Smutstvätt har utgått från att du menar det andra uttrycket.

Nej, jag utgår inte från det. Det är ett steg i lösningen som finns länkad. 

Men det som står i fråga (och i rubriken) är det första uttrycket.

Korrekt, men sedan skriver TS att: 

men förstår fortfarande inte de sista stegen innan det blir ln(e)=1

De sista stegen utgår från standardgränsvärdet jag skrev om.

Smaragdalena skrev:

Vilket gränsvärde är det du skall beräkna? Är det $\frac{\ln(1+x)}{x}$ eller $\ln(\frac{1+x}{x})$? Smutstvätt har utgått från att du menar det andra uttrycket.

det är det första alternativet som du skrev ner, det finns en länk som sagt som beskriver det bättre än jag, men vill bara förstå stegen då jag inte förstår hur lim kan vara innuti ln (ln(lim)) tex.

Då verkar det som om inlägget på quora, som du länkade till, inte har mycket med din uppgift att göra.

Smaragdalena skrev:

Då verkar det som om inlägget på quora, som du länkade till, inte har mycket med din uppgift att göra.

Länken till Quora så löser man ln(1+x)/x då x tenderar mot 0, TS skriver i inlägg #10 att det är det första alternativet, vilket är exakt samma gränsvärde som beräknas på Quora.

Smaragdalena skrev:

Då verkar det som om inlägget på quora, som du länkade till, inte har mycket med din uppgift att göra.

Jo? Vi substituerar in $t=\frac{1}{x}$, och får då $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{\ln \left({\displaystyle \frac{1}{t}}+1\right)}{{\displaystyle \frac{1}{t}}}=\underset{t\to \infty }{\lim }t·\ln \left(\frac{1}{t}+1\right)=\xcancel{\underset{t\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{t}+1\right)}^t} \underset{t\to \infty }{\lim }\left(\ln {\left(\frac{1}{t}+1\right)}^t\right)$. :)

Jag vet inte om du kommit till Taylor-utveckling och mer specifikt Maclaurin (x=0) så kan du Maclaurinutveckla täljaren och förkorta hela bråket med x så får du bara en term som inte innehåller något x.

CurtJ skrev:

Jag vet inte om du kommit till Taylor-utveckling och mer specifikt Maclaurin (x=0) så kan du Maclaurinutveckla täljaren och förkorta hela bråket med x så får du bara en term som inte innehåller något x.

Är det ett effektivare/bättre sätt än hur man generellt gör en sån här uppgift?

Smutstvätt skrev:

Smaragdalena skrev:

Då verkar det som om inlägget på quora, som du länkade till, inte har mycket med din uppgift att göra.

Jo? Vi substituerar in $t=\frac{1}{x}$, och får då $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{\ln \left({\displaystyle \frac{1}{t}}+1\right)}{{\displaystyle \frac{1}{t}}}=\underset{t\to \infty }{\lim }t·\ln \left(\frac{1}{t}+1\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{t}+1\right)}^t$. :)

 Jag kanske är lite trög här xD men vad hände med ln efter tredje steget av din beräkning? Den försvann 

Du är inte trög, det är jag som är slarvig. Jag ska genast åtgärda! 

$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{\ln \left({\displaystyle \frac{1}{t}+1}\right)}{{\displaystyle \frac{1}{t}}}=\underset{t\to \infty }{\lim }t·\ln \left(\frac{1}{t}+1\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }\left(\ln {\left(\frac{1}{t}+1\right)}^t\right)$ ska det stå. :)

Anwan skrev:

CurtJ skrev:

Jag vet inte om du kommit till Taylor-utveckling och mer specifikt Maclaurin (x=0) så kan du Maclaurinutveckla täljaren och förkorta hela bråket med x så får du bara en term som inte innehåller något x.

Är det ett effektivare/bättre sätt än hur man generellt gör en sån här uppgift?

Det är ett sätt att lösa det som jag tycker är enkelt men det förutsätter naturligtvis att du kommit dit i din utbildning. 

Smutstvätt skrev:

Smaragdalena skrev:

Då verkar det som om inlägget på quora, som du länkade till, inte har mycket med din uppgift att göra.

Jo? Vi substituerar in $t=\frac{1}{x}$, och får då $\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{\ln \left({\displaystyle \frac{1}{t}}+1\right)}{{\displaystyle \frac{1}{t}}}=\underset{t\to \infty }{\lim }t·\ln \left(\frac{1}{t}+1\right)=\xcancel{\underset{t\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{t}+1\right)}^t} \underset{t\to \infty }{\lim }\left(\ln {\left(\frac{1}{t}+1\right)}^t\right)$. :)

Snygg omskrivning! Det såg jag inte.

Om man skall vara petnoga så har vi väl bara beräknat 

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{ln\left(x+1\right)}{x}$,

eftersom man inte kan säga att t = 1/x går mot $\infty$ då x går mot 0.

Så man måste väl även undersöka vänstergränsvärdet och visa att man får samma resultat för full poäng.