Gränsvärde

Hej!

Bestäm $n$ så att följande gränsvärde blir ändligt och skilt från noll. Beräkna även gränsvärdet.

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x\ln (1+x)+2\cos x +\frac{x^3}{2}-2}{\sqrt[n]{1-x^n}-1}$

n=4; gränsvärde -5/3.

Trinity2 skrev:
n=4; gränsvärde -5/3.

Stämmer bra! Hur kom du fram till det?

Macluring-utveckling av täljaren ger 5x⁴/12 + O(x⁶)^. Täljaren är lite knepigare, jag vet ingen utveckling av (1-x)^p men (1+x)^p går bra att utveckla och då x går mot 0 och är kontinuerligt deriverbar så går det lika bra. Macluring av

(1+xⁿ)^1/n -1 -> 1- xⁿ/n + O(x²ⁿ) -1 = -xⁿ/n + O(x²ⁿ)

Ska kvoten gå mot något annat än 0 så måste n vara 4 och då får vi - 5x⁴/3x⁴ + O(x⁶)

Resttermen går mot 0 och då har vi kvar -5/3

CurtJ skrev:
Macluring-utveckling av täljaren ger 5x⁴/12 + O(x⁶)^. Täljaren är lite knepigare, jag vet ingen utveckling av (1-x)^p men (1+x)^p går bra att utveckla och då x går mot 0 och är kontinuerligt deriverbar så går det lika bra. Macluring av

(1+xⁿ)^1/n -1 -> 1- xⁿ/n + O(x²ⁿ) -1 = -xⁿ/n + O(x²ⁿ)

Ska kvoten gå mot något annat än 0 så måste n vara 4 och då får vi - 5x⁴/3x⁴ + O(x⁶)

Resttermen går mot 0 och då har vi kvar -5/3

Vacker lösning!

Tackar!

Även en blind höna hittar en ko ibland - eller nåt :)

Svara

Visa senaste svar