Gränsvärde

Hej. Jag undrar om jag gjort rätt i följande uppgift, där man skulle beräkna följande gränsvärde.

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{2 n} \frac{n}{(n + k)^{3}}$

Jag skrev om uttrycket till en Riemannsumma och fick

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{2 n} \frac{1}{n^{2} (1 + \frac{k}{n})^{3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{2 n} \frac{1}{n} \frac{1}{(1 + \frac{k}{n})^{3}} = 0 \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{(1 + x)^{3}} d x = 0$

Är detta korrekt, eller har jag gjort fel någonstans?

Det ser väl nästan rätt ut, integrationsgränsen bör vara 0 till 2.

Annars kan du notera att

$\sum_{k = 0}^{2 n} \frac{n}{(n + k)^{3}} \leq \sum_{k = 0}^{2 n} \frac{1}{n^{2}} = \frac{2}{n}$

Så enligt instängningssatsen så är gränsvärdet 0.

Okej. Tack!

Svara