Gränsvärde (Matematik/Universitet)

Du tänker precis rätt gällande sinus! Värdet av uttrycket kommer att växla värde; från negativt till positivt, till negativt till positivt, till negativt igen. Det finns inget enskilt värde som uttrycket närmar sig, och därför saknas ett gränsvärde.

aha! så den närmar inte sig en enskild värde, därför saknar den gränsvärde! Nu fattar jag, tack så mycket!

Det finns två fall där man skriver som om det fanns ett gränsvärde, fast det inte gör det. Det är när uttrycket går mot positiva eller negativa oändligheten (men bara en av dem). Då skriver man $+\infty$ respektive $-\infty$ .

Det kunde ha varit så att man beskriver fall som ditt med $\pm \infty$ , men det gör man inte.

Bryan skrev:
aha! så den närmar inte sig en enskild värde, därför saknar den gränsvärde! Nu fattar jag, tack så mycket!

Det stämmer bra! Prova gärna att rita upp funktionen om du är osäker på någon uppgift. Det brukar ge en bättre förståelse. :)

Vi blir följande gränsvärde?

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}x\cdot |\sin x|$

Laguna skrev:
Det finns två fall där man skriver som om det fanns ett gränsvärde, fast det inte gör det. Det är när uttrycket går mot positiva eller negativa oändligheten (men bara en av dem). Då skriver man $+\infty$ respektive $-\infty$ .

Det kunde ha varit så att man beskriver fall som ditt med $\pm \infty$ , men det gör man inte.

Om $x=N\cdot \pi$ där $N$ är ett heltal, går inte uttrycket mot en konstant $A$ då, ifall $N\to \infty$ ?

Nej,

$\lim_{N \to \infty} N \times π = \infty T ä n k d i g s j ä l v, v a d ä r ? \lim_{N \to \infty} N ? D e t ä r s å k l a r t \infty, o m m a n d å m u l t i p l i c e r a r d e t t a l e t m e d v a l f r i k o n s \tan t B . D å b l i r d e t g i v e t v i s o c k s å \infty Detta gränsvärde existerar inte egentligen, ty \det inte närmar sig ett ändligt tal . Men man har valt att beteckna \det med \pm \infty . Men \infty är egentligen inte ett tal .$

beerger, du missförstod, jag menade:

$N$ heltal. Vad blir:

$\displaystyle \lim_{N\to \infty}(N\cdot \pi)\cdot \sin (N\cdot \pi)$ ?

Okej, du menar så. Det där är lika med 0 om vi låter N vara ett heltal. Osäker på hur man gör det med gränsvärden. Men annars om det är ett reellt tal så existerar gränsvärdet inte.

beerger skrev:
Okej, du menar så. Det där är lika med 0 om vi låter N vara ett heltal. Osäker på hur man gör det med gränsvärden. Men annars om det är ett reellt tal så existerar gränsvärdet inte.

Vilken klass e det

Vad menar du?

tomast80 skrev:
beerger, du missförstod, jag menade:

$N$ heltal. Vad blir:

$\displaystyle \lim_{N\to \infty}(N\cdot \pi)\cdot \sin (N\cdot \pi)$ ?

Gränsvärdet existerar inte eller tänker jag fel? :p
Wolfram verkar hålla mig med.

Du har rätt i att det inte existerar. MEN om vi skulle låta N vara ett heltal, då existerar det, och är 0.

beerger skrev:
Du har rätt i att det inte existerar. MEN om vi skulle låta N vara ett heltal, då existerar det, och är 0.

Hur vet vi i detta fall att $\infty\cdot 0=0$ ?

$\lim_{x \to 0} = \frac{x}{(\frac{1}{x^{4}})} = [\frac{0}{\infty}] \lim_{x \to 0} \frac{x}{(\frac{1}{x^{4}})} = \lim_{x \to 0} x^{5} = 0$

Så vad betyder detta egentligen? Det betyder bara att $\frac{1}{x^{4}}$ närmar sig $\infty$ betydligt snabbare än vad x närmar sig 0.

Men i $\lim_{N \to \infty} (N \cdot π) \cdot \sin (N \cdot π)$ om vi låter N vara ett heltal, så kan vi lika gärna ersätta sin-termen med ett godtyckligt heltal, låt

oss säga 1. Nu har vi:

$\lim_{N \to \infty} (N \cdot π) \cdot \sin (π) = \lim_{N \to \infty} (N \cdot π) \cdot 0 = 0$

Detta eftersom att $\sin (π)$ faktiskt ÄR 0, och inte närmar sig 0, så kommer inte det fall du talar om att existera. Om sin-termen ist ersätts med en term vars värde NÄRMAR sig 0, då är det en annan femma.

Jag vill däremot poängtera att jag aldrig varit med om att man har $\lim_{N \to \infty} N$ där man säger att N måste tillhöra $ℤ$ . Om det är något man ens skulle vilja göra?

EDIT:

Kom på att det inte fungerar, eftersom N isf närmar sig ett heltal och $\sin (N π)$ isf närmar sig $\sin (π)$

$\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ betyder att för varje tal a så kan vi hitta ett tal b sådant att x $>$ b medför att $f (x) >$ a.

Det går inte i vårt fall eftersom för varje b så finns det nollställen till f som är större än b. Dvs för varje b så finns det ett x > b sådant att f(x) = 0.

beerger skrev:
Jag vill däremot poängtera att jag aldrig varit med om att man har $\lim_{N \to \infty} N$ där man säger att N måste tillhöra $ℤ$ . Om det är något man ens skulle vilja göra?

Det har du nog, det blir då en följd, alltså gränsvärdet av en följd.

Plus och minus oäd ligheten kallas för oegentliga gränsvärden och kan tillåtas i "the extended real numbers".

Tomast skrev:

Hur vet vi att infty*0=0?

Funktionen är konstant lika med noll om definitionsmängden är begränsad till heltalen. Om defm är R så finns inget gränsvärde. Tycker du inte att $\lim_{x \rightarrow \infty} 0\cdot x=0$ ? (Nu vet jag inte om jag skriver det som alla redan menat på).

Qetsiyah skrev:
beerger skrev:
Jag vill däremot poängtera att jag aldrig varit med om att man har $\lim_{N \to \infty} N$ där man säger att N måste tillhöra $ℤ$ . Om det är något man ens skulle vilja göra?

Det har du nog, det blir då en följd, alltså gränsvärdet av en följd.

Plus och minus oäd ligheten kallas för oegentliga gränsvärden och kan tillåtas i "the extended real numbers".

Vad menar du med att det blir en följd? Jag har aldrig hört talas om $\lim_{N \to \infty} N \cdot . . ., d ä r N \in ℤ$

Qetsiyah skrev:

Tomast skrev:

Hur vet vi att infty*0=0?

Funktionen är konstant lika med noll om definitionsmängden är begränsad till heltalen. Om defm är R så finns inget gränsvärde. Tycker du inte att $\lim_{x \rightarrow \infty} 0\cdot x=0$ ? (Nu vet jag inte om jag skriver det som alla redan menat på).

Det vi menade var inte sådär.

$\lim_{N \to \infty} (N π) \cdot \sin (Nπ), där N \in ℤ$

Eftersom det är ett gränsvärde, och när N närmar sig $\infty$ så kommer $\sin (N π) \to 0, m e n \sin (N π) \neq 0$ .

Detta eftersom N kommer vara LITE större eller LITE mindre än heltalet som gör att sin-termen blir 0. Den närmar sig med andra ord 0, och $(N π)$ kommer givetvis närma sig $\infty$ .

Det är alltså inte samma sak som $\lim_{N \to \infty} (N π) \cdot 0$

Det du har skrivit där makes no sense men det du skrev tidigare är rätt:

Okej, du menar så. Det där är lika med 0 om vi låter N vara ett heltal. Osäker på hur man gör det med gränsvärden. Men annars om det är ett reellt tal så existerar gränsvärdet inte.

Jag menar med en följd en talföljd $(x_n)$ där de ingående talen kan ses som funktionsvärden av heltal, alltså funktioner av deras index 1, 2, 3...

Qetsiyah skrev:
Det du har skrivit där makes no sense men det du skrev tidigare är rätt:

Okej, du menar så. Det där är lika med 0 om vi låter N vara ett heltal. Osäker på hur man gör det med gränsvärden. Men annars om det är ett reellt tal så existerar gränsvärdet inte.

Vad är det som inte makes sense? Det jag har skrivit kan lättare förklaras såhär:

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{3}} \cdot x = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} = \infty$

Men:

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{3}} \cdot 0 = 0$

Skillnad på om vi ersätter x i första gränsvärdet med 0. Eftersom det där bara närmar sig 0, och $\frac{1}{x^{3}}$ närmar sig $\infty$

snabbare än vad x närmar sig 0. Så "vinner" den termen och gränsvärdet skrivs $\infty$

Men i andra gränsvärdet är x:et ersatt med 0, INTE närmar sig 0, utan ÄR 0. Därav blir det gränsvärdet 0.

Qetsiyah skrev:

Okej, du menar så. Det där är lika med 0 om vi låter N vara ett heltal. Osäker på hur man gör det med gränsvärden. Men annars om det är ett reellt tal så existerar gränsvärdet inte.

Jag menar med en följd en talföljd $(x_n)$ där de ingående talen kan ses som funktionsvärden av heltal, alltså funktioner av deras index 1, 2, 3...

Jaha det var så du menade, då fattar jag!

Jag är också med i matchen nu...

För varje $n$ gäller att $x_n=0$ , därmed fås att:

$\lim_{N\to \infty}x_N=0$ (N heltal)

Man kan definiera gränsvärde för funktioner i termer av följder och gränsvärden för följder.

$\lim_{x \to \infty} f (x)$ = c kan definieras så att det betyder att för varje följd (x_n) sådan att $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ = $\infty$ det gäller att $\lim_{n \to \infty} f (x_{n})$ = c. (Man skall naturligtvis övertyga sig om att denna definition är ekvivalent med med den vanliga definitionen.)

Så om vi vill visa att ett gränsvärde inte existerar så kan vi göra det genom att visa att för varje tal c så går det att hitta en följd (x_n) som uppfyller ovan ställda krav men för vilken det inte gäller att $\lim_{n \to \infty} f (x_{n})$ = c.

beerger skrev:
Det vi menade var inte sådär.

$\lim_{N \to \infty} (N π) \cdot \sin (Nπ), där N \in ℤ$

ok, reella tal, inte heltal. Från och med här pratar du alltså om reella tal.

Eftersom det är ett gränsvärde, och när N närmar sig $\infty$ så kommer $\sin (N π) \to 0, m e n \sin (N π) \neq 0$ .

Nej, sin(npi) går inte mot noll då n går mot infty, gränsvärdet existerar inte. $sin(n\pi) \neq 0$ är ett konstigt sätt att skriva och är fel eftersom likhet gäller då N är ett heltal. Du menar antagligen något i stil med $e^x \neq 0$ , men ur matematisk synpunkt är inte påstpendet komplett eftersom $x$ inte är en konstant. Det behöver följas upp med "... för reella x" i mitt exempel.

Detta eftersom N kommer vara LITE större eller LITE mindre än heltalet som gör att sin-termen blir 0. Den närmar sig med andra ord 0, och $(N π)$ kommer givetvis närma sig $\infty$ .

Det är alltså inte samma sak som $\lim_{N \to \infty} (N π) \cdot 0$

Vid det här laget kan jag bara anta att du vill betrakta gränsfallet med $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ vilket är konstigt, och då är ditt användande av ordet lite inte lämpligt eftersom beteendet att sin(npi) aldrig blir noll inte är någon sorts limiting behaviour.

Och du påstår igen att $\lim_{x\rightarrow \infty} sin(n\pi)=0$ vilket är fel (oavsett om talsystemet är R eller R\Z, det stämmer endast på Z eller en delmängd av Z).

Qetsiyah skrev:
beerger skrev:
Det vi menade var inte sådär.

$\lim_{N \to \infty} (N π) \cdot \sin (Nπ), där N \in ℤ$

ok, reella tal, inte heltal. Från och med här pratar du alltså om reella tal.

Eftersom det är ett gränsvärde, och när N närmar sig $\infty$ så kommer $\sin (N π) \to 0, m e n \sin (N π) \neq 0$ .

Nej, sin(npi) går inte mot noll då n går mot infty, gränsvärdet existerar inte. $sin(n\pi) \neq 0$ är ett konstigt sätt att skriva och är fel eftersom likhet gäller då N är ett heltal. Du menar antagligen något i stil med $e^x \neq 0$ , men ur matematisk synpunkt är inte påstpendet komplett eftersom $x$ inte är en konstant. Det behöver följas upp med "... för reella x" i mitt exempel.

Detta eftersom N kommer vara LITE större eller LITE mindre än heltalet som gör att sin-termen blir 0. Den närmar sig med andra ord 0, och $(N π)$ kommer givetvis närma sig $\infty$ .

Det är alltså inte samma sak som $\lim_{N \to \infty} (N π) \cdot 0$

Vid det här laget kan jag bara anta att du vill betrakta gränsfallet med $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ vilket är konstigt, och då är ditt användande av ordet lite är inte lämpligt eftersom beteendet att sin(npi) aldrig blir noll inte är någon sorts limiting behaviour.

Och du påstår igen att $\lim_{x\rightarrow \infty} sin(n\pi)=0$ vilket är fel (oavsett om talsystemet är R eller R\Z, det stämmer endast på Z eller en delmängd av Z).

Vi talar ju om att N endast tillhör Z? Då gäller det..

Okej, jag har läst fel, du pratar om heltal, låt mig läsa igen:

beerger skrev:
Eftersom det är ett gränsvärde, och när N närmar sig $\infty$ så kommer $\sin (N π) \to 0, m e n \sin (N π) \neq 0$ .

Ja, gränsvärdet är noll eftersom funktionen är konstant noll. Varför säger du då ≠0?

Detta eftersom N kommer vara LITE större eller LITE mindre än heltalet som gör att sin-termen blir 0. Den närmar sig med andra ord 0, och $(N π)$ kommer givetvis närma sig $\infty$ .

Det är alltså inte samma sak som $\lim_{N \to \infty} (N π) \cdot 0$

Återigen, det finns inget limiting behavior som motiverar ordet "lite" här. Hur kan N inte riktigt vara heltal, du sa just att det var heltal vi jobbade över?

Jag tänkte att eftersom vi har limes tänkte jag att N närmade sig ett (oändligt) heltal, såsom man gör vid vanliga gränsvärden.

$\lim_{x - > a} f (x) = L \Leftrightarrow \lim_{x - > a^{+}} f (x) = \lim_{x - > a -} f (x) = L$

Tänkte då att N är lite större/mindre än ett heltal, och således blev $\sin (N π) \neq 0$

Men om vi bara talar om att N är heltal, så kanske det inte är så. Har nämligen aldrig talat om det. Jag ursäktar för min förvirring!

PATENTERAMERA skrev:
Man kan definiera gränsvärde för funktioner i termer av följder och gränsvärden för följder.

$\lim_{x \to \infty} f (x)$ = c kan definieras så att det betyder att för varje följd (x_n) sådan att $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ = $\infty$ det gäller att $\lim_{n \to \infty} f (x_{n})$ = c.

Så om vi vill visa att ett gränsvärde inte existerar så kan vi göra det genom att visa att för varje tal c så går det att hitta en följd (x_n) som uppfyller ovan ställda krav men för vilken det inte gäller att $\lim_{n \to \infty} f (x_{n})$ = c.

För att visa att det inte existerar ett gränsvärde så kan vi därför göra som följer.

Välj följden x_n = $\frac{π}{2} + n 2 π$ , vilken helt klart går mot oändlighet då n går mot oändlighet.

f(x_n) = ( $\frac{π}{2} + n 2 π$ ) sin( $\frac{π}{2} + n 2 π$ ) = $\frac{π}{2} + n 2 π$ , som går mot oändlighet då n går mot oändlighet. Detta innebär att det inte kan finnas något reellt tal c sådant att $\lim_{x \to \infty} f (x)$ = c. Dvs det finns inget egentligt gränsvärde.

Vidare, om vi väljer x_n = $n π$ , som går mot oändlighet då n går mot oändlighet, så får vi f(x_n) = $n π \sin (n π)$ = 0, som uppenbarligen går mot noll då n går mot oändlighet. Detta visar att vi inte heller kan ha några oegentliga gränsvärden ( $\pm \infty$ ).

Så varken ändliga eller oändliga gränsvärden finns.

PATENTERAMERA skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Man kan definiera gränsvärde för funktioner i termer av följder och gränsvärden för följder.

$\lim_{x \to \infty} f (x)$ = c kan definieras så att det betyder att för varje följd (x_n) sådan att $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ = $\infty$ det gäller att $\lim_{n \to \infty} f (x_{n})$ = c.

Så om vi vill visa att ett gränsvärde inte existerar så kan vi göra det genom att visa att för varje tal c så går det att hitta en följd (x_n) som uppfyller ovan ställda krav men för vilken det inte gäller att $\lim_{n \to \infty} f (x_{n})$ = c.

För att visa att det inte existerar ett gränsvärde så kan vi därför göra som följer.

Välj följden x_n = $\frac{π}{2} + n 2 π$ , vilken helt klart går mot oändlighet då n går mot oändlighet.

f(x_n) = ( $\frac{π}{2} + n 2 π$ ) sin( $\frac{π}{2} + n 2 π$ ) = $\frac{π}{2} + n 2 π$ , som går mot oändlighet då n går mot oändlighet. Detta innebär att det inte kan finnas något reellt tal c sådant att $\lim_{x \to \infty} f (x)$ = c. Dvs det finns inget egentligt gränsvärde.

Vidare, om vi väljer x_n = $n π$ , som går mot oändlighet då n går mot oändlighet så får vi f(x_n) = $n π \sin (n π)$ = 0, som uppenbarligen går mot noll då n går mot oändlighet. Detta visar att vi inte heller kan ha några oegentliga gränsvärden ( $\pm \infty$ ).

Så vaken ändliga eller oändliga gränsvärden finns.

Okej! Spännande metod. Inte sett den tidigare faktiskt! Tack för förklaringen!

Jag kan isåfall förklara mer. Det går att betrakta gränsvärden med andra tal(system) än de reella talen, till exempel heltalen Z. Vad vi betraktar är då funktionen $f: \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{R}$ som definieras med $n\mapsto \sin(\pi n)$ . Grafen av den funktionen är bara utspridda punkter, nämligen (0pi,0), (1pi, 0), (2pi, 0), (3pi, 0)... eftersom vi bara tillåter heltal som inmatning i funktionen. Gränsvärdet då $n\rightarrow 0$ är 0 eftersom funktionen $f$ är konstant lika med noll.

Det vi har gjort är att vi har begränsat en funktions definitionsmängd till en mindre mängd än vad som är möjligt att ha (hela R), och när vi har gjort det spelar dess beteende på andra punkter ingen roll.

Det du skrev handlar om gränsvärden mot ändliga tal där vänster och högergränsvärde behöver sammanfalla för existensen av gränsvärde, men i vårt fall är det alltså inte ett ändligt tal vi närmar oss. Även om det var det så skulle vi inte kunna närma oss talet 15 på följande tex sätt: 14,7, 14,8, 14,9, 15 eftersom de andra talen inte är heltal.

Qetsiyah skrev:
Jag kan isåfall förklara mer. Det går att betrakta gränsvärden med andra tal(system) än de reella talen, till exempel heltalen Z. Vad vi betraktar är då funktionen $f: \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{R}$ som definieras med $n\mapsto \sin(\pi n)$ . Grafen av den funktionen är bara utspridda punkter, nämligen (0pi,0), (1pi, 0), (2pi, 0), (3pi, 0)... eftersom vi bara tillåter heltal som inmatning i funktionen. Gränsvärdet då $n\rightarrow 0$ är 0 eftersom funktionen $f$ är konstant lika med noll.

Det vi har gjort är att vi har begränsat en funktions definitionsmängd till en mindre mängd än vad som är möjligt att ha (hela R), och när vi har gjort det spelar dess beteende på andra punkter ingen roll.

Spännande! Vet du vilken kurs man går igenom dessa metoder för lösning av gränsvärde? Om det nu är med i någon kurs vill säga.

Tack för förklaringen! Men ska det inte vara punkterna (0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0),...? Ty definitionsmängden endast är $ℤ$

Qetsiyah skrev:
Vi kan alltså tex inte närma oss talet 15 på följande sätt: 14,7, 14,8, 14,9, 15 eftersom de andra talen inte är heltal.

Tack! Det var precis det här som förvirrade mig!

Ja, det ska såklart stå 0, 1, 2, 3... inga pi:n.

Detta ingår i en första kurs i analys på universitetet. Det kan heta emvariabelanalys, analys i en variabel, endimensionell analys eller liknande. Det ingår också på enklare nivå i matte 3 på gymnasienivå.

Har läst envariabelsanalys, nyligen precis. Vi gick inte igenom det iaf. Kan ju skilja sig åt från skola till skola

Det låter lite konstigt, vad för universitet?

Uppsala Universitet. Vi talade iaf inte om gränsvärden med andra mängder än $ℝ$

Jag misstänkte det, det gjorde egentligen inte jag heller på min envariabelanalys (kth), att betrakta gränsvärden av funktioner med defm Z. Som jag skrev är det dock ekvivalent med talföljder, men att talföljder egentligen är funktioner är inte så viktigt att det nämns.

Hursomhelst, med hjälp av bra förståelse av grundidén och lite egna resonemang går det att attackera sånna här annorlunda frågeställningar.

Om du är intresserad i mer analys kan du även läsa analysens grunder på något universitet, kursen heter samma överallt.

Talföljders koppling till funktioner, kardinalitet osv. har vi läst i Algebra och Geometri så dem delarna har jag koll på. Men inte haft alltför stort matteintresse förrän efter envariabelanalys. Så är väl fortfarande ganska ny till "mattescenen", men tycker definitivt analys är roligt. Vi läser tyvärr inte flervariabelsanalys på mitt program.. Kanske väljer till, om jag känner att jag har tid.