Gränsvärde

Två utmärkta förslag! Om vi skriver om 4^n med bas två, får vi $2^n+{\left(2^n\right)}^2=2^n(1+2^n)$. 

Vad händer om vi skriver detta som ^(1/n)? :)

Tänkte att det skulle bli så men var osäker på själv basomvandlingen från 4 till 2. 

Jag trodde det skulle bli såhär: 

Så tvåan framför mitt n multipliceras aldrig in?

4ⁿ = (2²)ⁿ = 2⁽²ⁿ⁾ = 2²ⁿ

Om man nu lägger en parantes för utrycker med båda med basen 2 och upphöjer den med 1/n. Hur ska man gå vidare på det?

feltänk

Man kanske ska bryta ut 2^n?

då kan man försumma 1:an som kvarstår

offan123 skrev:

Man kanske ska bryta ut 2^n?

då kan man försumma 1:an som kvarstår

Ja, precis! ${\left(2^n\right)}^{\frac{1}{n}}$ är ju 2, och vad händer med värdet av ${\left(1+2^n\right)}^{\frac{1}{n}}$ när n går mot oändligheten? :)

(Om vi ska vara formella kan vi dividera termerna med den dominerande faktorn, men det är enklare och tydligare att bara argumentera för att ettan är försumbar när n går mot oändligheten. :)

det blir två som du säger men vet inte hur jag ska tänka när n går mot oändligheten 

När n går mot oändligheten, kommer $2^n$ i $(1+2^n)$ att dominera. Ettan gör mindre och mindre skillnad. När $n=10$, är det fråga om 1025 jämfört med 1024, dvs. nästan ingen påverkan från ettan alls. 

Så när n går mot oändligheten, kan vi se $(1+2^n)$ som $2^n$. :)

Men hur blir det då fyra?

$\underset{n\to \infty }{\lim }(\underset{2}{\underbrace{2^n}}{\underset{2}{·\underbrace{\left(1+2^n\right)})}}^{\frac{1}{n}}=4$. :)

Hur blir ”2^n” 2?

Det är inte 2ⁿ som blir 2, det är $(2^n)^{\frac{1}{n}}$ som blir 2. Smutstvätt skrev lite otydligt - men det gäller den andra faktorn också.

Aha, ja, då är jag med på att det blir fyra.