Gränsvärde

Hej! Jag skulle behöva hjälp med följande uppgift.

"Bestäm talet a så att $l i m h \to 0$ $\frac{a^{h} - 1}{h}$ =0.5

Svara med tre decimaler"

Det jag har gjort är att förenkla till $a^{h}$ =0.5h -1, men jag förstår inte hur jag ska gå vidare för att få ett så exakt svar som möjligt. I facit har de testat sig fram, men borde det inte finnas en enklare väg fram till svaret?

Hej!

Kvoten kan skrivas som $\dfrac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$ för lämpligt val av $x$ och $f$ . Då gäller att $\lim_{h\to 0}\dfrac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=f'\left(x\right)$ .

Är funktionen möjligtvis f(x)= $a^{x}$ -1 ? Och hur går jag isåfall vidare härifrån? Vid förenkling får jag bara det som det var från början

Laura2002 skrev:
Är funktionen möjligtvis f(x)= $a^{x}$ -1 ? Och hur går jag isåfall vidare härifrån? Vid förenkling får jag bara det som det var från början

Jag skulle nog välja $f\left(x\right)=a^x$ och punkten $x=0$ . Då får vi nämligen att kvoten är lika med $\dfrac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}=\dfrac{a^h-1}{h}$ vilket precis är vår kvot!

Sedan gäller att gränsvärdet $\lim_{h\to 0}\dfrac{a^h-1}{h}=f'\left(0\right)$ där som vi tidigare nämnde $f\left(x\right)=a^x$ . Kan du beräkna $f'\left(0\right)$ ?

nu förstår jag! Tusen tack!

Svara

Visa senaste svar