Gränsvärde

Hej!

Kan jag snälla få hjälp med att bestämma det här gränsvärdet med Taylorutveckling, jag har försökt men fastnar bara:

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \sin x}{\ln (1 + x) - x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x + \frac{x^{2}}{2} + O (x^{3})) - (x + O (x^{3}))}{(x - \frac{x^{2}}{2} + O (x^{3}) - x)} =$

$= \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{x^{2}}{2} + O (x^{3})}{- \frac{x^{2}}{2} + O (x^{3})}$

.... Men sen kommer jag inte längre.

Hur kommer jag vidare?

Tacksam för hjälp!

Du kan förenkla bråket, släng upp 2an i nämnaren på nämnaren så att du istället då har $-\dfrac{2+x^2}{x^2}$ , kommer du vidare?

Dracaena skrev:
Du kan förenkla bråket, släng upp 2an i nämnaren på nämnaren så att du istället då har $-\dfrac{2+x^2}{x^2}$ , kommer du vidare?

Tack för svar, men vet tyvärr inte hur jag ska komma vidare :(

Om du inte ser svaret direkt kan du bryta ut det som dominerar (det som blir 0 snabbast) men du kan egentligen redan nu resonera om svaret. Skulle x gå mot 0 har du ungefär 2+något litet/något litet och ju mindre x blir (ju nämre 0 det kommer) ju mindre blir nämnaren och täljaren närmar sig allt mer 2. Du får alltså något som närmar sig 2/på något väldigt nära 0 och ju nämre 0 vi kommer ju större blir kvoten. Det går alltså mot oändligheten men sedan får du inte glömma minustecknet så kvoten går mot vadå?

Dracaena skrev:
Om du inte ser svaret direkt kan du bryta ut det som dominerar (det som blir 0 snabbast) men du kan egentligen redan nu resonera om svaret. Skulle x gå mot 0 har du ungefär 2+något litet/något litet och ju mindre x blir (ju nämre 0 det kommer) ju mindre blir nämnaren och täljaren närmar sig allt mer 2. Du får alltså något som närmar sig 2/på något väldigt nära 0 och ju nämre 0 vi kommer ju större blir kvoten. Det går alltså mot oändligheten men sedan får du inte glömma minustecknet så kvoten går mot vadå?

Ah ok!! Nu förstår jag! Tack så mycket för hjälpen!!

En liten fråga bara: Behöver man inte kontrollera höger-och vänster gränsvärde (då nämnaren blir 0 om man bara sätter in x=0)?

Vi kan inte sätta in x=0 direkt eftersom då dividerar vi med 0. Det vi vet dock är att $\dfrac{C}{x} \rightarrow \infty$ då $x \rightarrow 0$ , detta är ett standardgränsvärde och det var som jag nämnde tidigare, om x närmar sig 0 mer och mer blir kvoten större och större tills den går mot oändligheten. Vi kan skriva om kvoten till: $-\dfrac{x^2}{x^2}\cdot (\dfrac{2}{x^2}+1)$ och eftersom $\dfrac{2}{x^2}+1 \rightarrow \infty$ då $x \rightarrow 0$ så går allt mot $(-1)(\infty)=-\infty$ .

Ok! Tack så mycket!!

Svara

Visa senaste svar