Gränsvärde

Faktorisera täljaren.

Det känns som att det bara blir krångligt när jag ska faktoriera täljaren. Hur kan jag göra det? (Tips?)

Hej,

Visa att $p(-5)=0$ så att $p(x)$ kan skrivas som en produkt $(x+5) \cdot f(x)$ där $f(x)$ är ett visst andragradspolynom. Det sökta gränsvärdet blir då $f(-5).$

Lisa14500 skrev:

Det känns som att det bara blir krångligt när jag ska faktoriera täljaren. Hur kan jag göra det? (Tips?)

Om du känner till polynomdivision så kan du dividera p(x) med q(x).

Annars kan du ansätta q(x) = p(x)*(ax^2+bx+c).

Multiplicera ihop högerledet. För att det ska vara identiskt med q(x) så måste det gälla att:

• x^3-termerna är identiska
• x^2-termerna är identiska
• x-termerna är identiska
• Konstanttermerna är identiska

Det ger dig ekvationer med vars hjälp du kan  bestämma a, b och c.

Nu hänger jag inte riktigt med.

Vad ska p(x) vara, hur hittar jag p(x)? Varför ska jag sedan multiplicera det med (ax^2+bc+c)?

P(x) är ju täljaren enligt uppgiften. Dela p(x) på q(x) vad får du för kvot då? 

Jag måste förenkla först. Och det är där jag fastnar 

Om du konstaterar att $p(-5)=0$ kan du identifiera det sökta gränsvärdet som en derivata:

$\displaystyle\lim_{x\to -5}\frac{p(x)-p(-5)}{x-(-5)}=p'(-5)$

Lisa14500 skrev:

Nu hänger jag inte riktigt med.

Vad ska p(x) vara, hur hittar jag p(x)? Varför ska jag sedan multiplicera det med (ax^2+bc+c)?

Förlåt jag skrev fel tidigare, jag blandade ihop täljaren $p(x)$ och nämnaren $q(x)$.

Vi vill faktorisera täljaren $p(x)$.

Jag menade så här: Eftersom $p(-5) = 0$ så är $(x+5)$ en faktor i $p(x)$.

Det betyder att vi kan bryta ut den faktorn ur $p(x)$ och vi får då kvar ett andragradspolynom som andra faktor, dvs $p(x) = (x+5)\cdot (ax^2+bx+c)$, där $a$, $b$ och $c$ är konstanter.

Dessa konstanter kan vi bestämma genom att multiplicera ihop högerledet och jämföra koefficienterna i vänster- och högerled.

Du får då $x^3+9x^2+27x+35=ax^3+(5a+b)x^2+(5b+c)x+5c$

För att dessa två polynom ska vara identiska måste

• koefficienterna framför $x^3$-termerna vara lika, vilket ger oss att a=1
• koefficienterna framför $x^2$-termerna vara lika, vilket ger oss att $5a+b=9$
• koefficienterna framför $x$-termerna vara lika, vilket ger oss att $5b+c=27$
• konstanttermerna vara lika, vilket ger oss att $5c=35$

Ovanstående ekvationer ger oss att $a=1$, $b=4$ och $c=7$.

Det betyder att vi kan faktorisera $p(x)$ enligt $p(x)=(x+5)(x^2+4x+7)$.

Nu kan du gå vidare och förenkla kvoten.

=======

En alternativ väg att faktorisera $p(x)$ är att utföra polynomdivisionen $\frac{x^3+9x^2+27x+35}{x+5}$ direkt, men det kanske du inte har lärt dig ännu.

========

En annan lösningsmetod är att tolka gränsvärdet som en derivata enligt tipset från tomast80.

Hur kommer ni fram till att P(-5)=0?hur kan man veta att p(x) kan faktoriseras som x+5? Hur kommer det sig att man bryter ut just x+5 och varför gör man det.? Det känns lite oklart där.

Om inte $p(-5)$ är lika med $0$ så är gränsvärdet odefinierat.

Ja fast hur faktoriserar du ut (x+5) av funktionen 

x^3 + 9x^2 +27x +35=p(x)?

Enklast är att ansätta:

$x^3+9x^2+27x+35=(x+5)(x^2+ax+b)$

Multiplicera ihop HL och sätt sedan att VL=HL, vilket gör att $a$ och $b$ kan bestämmas.

Det verkar inte som att förstår min fråga. 

Hur bryter ut ut (x+5) från  x^3 + 9x^2 +27x+35?

Det står i Yngves svar.

$$\begin{gathered} (x+3)(x+6)(x-2)=x^3+7x^2-36 \\ (x+3)\left(\right(x+6\left)\right(x-2\left)\right)=(x+3)(x^2+4x-12) \\ (x+3)(x^2+4x-12)=x^3+7x^2-36 \end{gathered}$$

Om du inte tror mig kan du expandera och se att detta stämmer. Varför stämmer det? Jo, det spelar ingen roll i vilken ordning du utför multiplikation. 7*3*2=3*2*7=2*7*3=42