Gränsvärde

Beräkna:

$\lim_{x \to 1} \frac{\sin (x - 1)}{x^{3} - x}$

Svaret blir $\frac{1}{2}$

Jag antar att man skall komma fram till standardgränsvärdet $\frac{\sin x}{x} = 1$ sedan bryta ut $\frac{1}{2}$ , så att $\frac{1}{2} * \lim_{x \to 1} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{2}$

Jag vet inte hur man skall bryta ut korrekt för att få standardgränsvärdet, kommer endast fram till $\frac{\sin (x - 1)}{x (x^{2} - 1)}$ men det känns som $\sin (x - 1)$ behövs skrivas om.

Hej,

Konjugatregeln låter dig skriva

$\frac{\sin(x-1)}{x\cdot (x-1)(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)} \cdot \frac{\sin(x-1)}{x-1}.$

Albiki skrev:
Hej,
Konjugatregeln låter dig skriva
$\frac{\sin(x-1)}{x\cdot (x-1)(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)} \cdot \frac{\sin(x-1)}{x-1}.$

Kom på att man även behöver ändra så att x går mot 0 m.h.a en annan variabel , annars gäller det ju inte.

Men jag får dock fortfarande $\lim_{t \to o} \frac{\sin (t + 1 - 1)}{t + 1 - 1} * \frac{1}{(t + 1) (t + 2)}$ , vilket gör det ena odefinerat ?

Volens27 skrev:
Albiki skrev:
Hej,
Konjugatregeln låter dig skriva
$\frac{\sin(x-1)}{x\cdot (x-1)(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)} \cdot \frac{\sin(x-1)}{x-1}.$
Kom på att man även behöver ändra så att x går mot 0 m.h.a en annan variabel , annars gäller det ju inte.
Men jag får dock fortfarande $\lim_{t \to o} \frac{\sin (t + 1 - 1)}{t + 1 - 1} * \frac{1}{(t + 1) (t + 2)}$ , vilket gör det ena odefinerat ?

Fast vid närmare eftertanke blir nog $\lim_{t \to 0} \frac{\sin (t + 1 - 1)}{t + 1 - 1}$ helt likvärdigt med standardgränsvärdet $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Svara

Visa senaste svar