Gränsvärde

Den första delen hade jag nog motiverat med motsvarande kontinuerliga gränsvärde, som t.ex. kan visas med l'Hopitals regel (även om det säkert finns något snyggare för det diskreta fallet).

För den andra delen vet jag inte hur du skulle kunna använda instängning. Vad ska du stänga in det med? n^k>n för k,n>1. Däremot kan du skriva om uttrycket så att potensen får hela kvoten som bas.

Ett annat sätt att visa första delen är att visa att kvoten mellan två tal i följden går mot 1/a

Hej!

Skriv $x_n =\frac{n}{a^n}.$ Kvoten mellan $x_{n-1}$ och $x_{n}$ är större än 1 om $n$ är tillräckligt stort.

    $\frac{x_{n-1}}{x_{n}} = a(1-\frac{1}{n}) > 1$ om $n > N(a).$

Om $n > N(a)$ så är talföljden $(x_n)$ avtagande och nedåt begränsad (av 0). Gränsvärdet

    $\lim_{n\to\infty} x_n$

existerar alltså.

Albiki

Låt $a = p + 1$ då vet du att

$a^n = (1 + p)^n > \binom{n}{2}p^2 = \frac{n(n - 1)}{2}p^2$

Vilket alltså innebär att

$\frac{n}{(1 + p)^n} < \frac{2n}{n(n-1)p^2}=\frac{2}{(n-1)p^2}$

Så nu har du att

$0 \le \frac{n}{a^n} < \frac{2}{(n - 1)(a - 1)^2}$

Så det följer av instäningssatsen att gränsvärdet är noll.

Okej. Sedan när jag visar det andra gränsvärdet får jag

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{n^k}{a^n}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{n}{{\left(a^{{\displaystyle \frac{1}{k}}}\right)}^n}\right)}^k={\left(0\right)}^k=0, k>0, a>1$

Ja, fast tänk då på att du använder att $x^k$ är en kontinuerlig funktion i $0$.

I b) går det ju också att använda l'Hospitals regel i $k$ steg.