Gränsvärde

Utveckla med additionssatser.

    $\sin\phi \cos 2x + \cos\phi\sin 2x - 2\sin\phi\cos x - 2\cos\phi\sin x + \sin \phi\\=\sin\phi (1-2\sin^2x) + 2\cos\phi\sin x\cos x - 2\sin\phi\cos x - 2\cos\phi\sin x + \sin \phi$

Gruppera.

    $2\sin\phi(1-\cos x)-2\sin\phi\sin^2x-2\cos\phi\sin x(1-\cos x).$

Studera gränsvärden.

    $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}$

    $\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x}{x^2}$

    $\lim_{x\to0}\frac{\sin x(1-\cos x)}{x^2}$

Hmmm, vi kan alltid prova med additions- och subtraktionsformeln för sinus: 

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin \left(\phi +2x\right)-2\sin \left(\phi +x\right)+\sin \left(\phi \right)}{x^2}\right)= \\ \underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\left(\sin \left(\phi \right)\cos \left(2x\right)+\cos \left(\phi \right)\sin \left(2x\right)\right)-\left(2\sin \left(\phi \right)\cos \left(x\right)+\cos \left(\phi \right)\sin \left(x\right)\right)+\sin \left(\phi \right)}{x^2}\right)= \end{gathered}$$

Prova att bryta ut några olika gemensamma termer. Vad händer? :)

Tack så mycket :)

Varsågod! :)