7 svar
174 visningar
bibben 13 – Fd. Medlem
Postad: 24 jul 2020 10:17 Redigerad: 24 jul 2020 10:25

Gränsvärde

Hej! Har en uppgift jag inte riktigt förstår:

Bestäm gränsvärdet till följande funktion:

limx→−7f(x)=p(x)/q(x)

Om du vet att:
p(x)=x^3+11x^2+35x+49
q(x)=x+7

 

Hur faktoriserar jag tredjegradspolynomet? Vet att det kan skrivas i faktorform (x-a1)(x-a2)(x-a3) men hur hittar jag nollställena? 

 

Tack på förhand!!

larsolof 2684 – Fd. Medlem
Postad: 24 jul 2020 10:53 Redigerad: 24 jul 2020 11:48

Gissar att ett av  (x-a1)(x-a2)(x-a3)   är  (x+7)  så att det går att förkorta

Visa spoiler

Gränsvärdet = 28

larsolof 2684 – Fd. Medlem
Postad: 24 jul 2020 13:18 Redigerad: 24 jul 2020 13:22

Det var lite knepigt att räkna ut  a1  a2  och  a3

Två av dem blir komplexa tal som typ   2+i3^(1/2)

Lättare då att utföra polynomdivisionen  p(x)/q(x) = (x^3+11x^2+35x+49) / (x+7)

Hjälpsida:  https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/polynomekvationer-av-hogre-grad

( se mot slutet av sidan under rubriken Polynomdivision )

pepsi1968 495
Postad: 24 jul 2020 13:56 Redigerad: 24 jul 2020 14:00

såhär kan du göra om du bara analyserar lite enkelt: Man kan se att en av lösningarna blir x=-7 och det ger oss (x+7) som en faktor i polynomet.detta ger oss: (x+7)(ax2+bx+c)=x3+11x2+35x+49  eftersom att (x-a2)(x-a3) blir ett andragrandspolynom som skrivs:ax2+bx+cNu multiplicerar du och förenklar:  (x+7)(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx+7ax2+7bx+7cax3+bx2+cx+7ax2+7bx+7c=x3+11x2+35x+49      genom att nu analysera gradtalen och koefficienterna framför variablerna x så kan vi lista ut alla okända.(1) ax3=x3 a=1(2) bx2+7ax2=11x2 bx2+7x2=11x2bx2=4x2b=4(3) 7c=49c=7 (x+7)(x2+4x+7)=x3+11x2+35x+49så kan du faktorisera polynomet. Du kan såklart somsagt skriva (x2+4x+7) som (x-a1)(x-a2)och nu med uppgiften: limx-7 p(x)q(x)= limx-7 (x+7)(x2+4x+7) (x+7)= limx-7(x2+4x+7)=(-7)2+4×(-7)+7=49-28+7=49-21=28

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 24 jul 2020 14:00 Redigerad: 24 jul 2020 14:01

Du behöver varken bestämma alla nollställen eller hålla på med komplexa tal.

Eftersom täljaren p(x)p(x) har ett nollställe vid x=-7x = -7 så är (x+7)(x+7) en faktor i p(x)p(x).

Det betyder att tredjegradspolynomet p(x)p(x) kan faktoriseras enligt p(x)=(x+7)(ax2+bx+c)p(x)=(x+7)(ax^2+bx+c), där du kan bestämma konstanterna aa, bb och cc genom att multiplicera ihop faktorerna och jämföra med det ursprungliga uttrycket för p(x)p(x).

Förkorta sedan bråket med (x+3)(x+3) och låt xx gå mot -7-7.

tomast80 4245
Postad: 24 jul 2020 19:05

Om p(-7)=0p(-7)=0, vilket enkelt kan kontrolleras, så kan man tolka gränsvärdet som en derivata:

limx-7p(x)-p(-7)x-(-7)=\displaystyle \lim_{x\to -7}\frac{p(x)-p(-7)}{x-(-7)}=

p'(-7)p'(-7)

Yngve måste mena att förkorta med (x+7) inte med (x+3) men det förstår du säkert. Ville bara påpeka detta så det inte förvillade dig. 

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 24 jul 2020 23:38
Marie51 skrev:

Yngve måste mena att förkorta med (x+7) inte med (x+3) men det förstår du säkert. Ville bara påpeka detta så det inte förvillade dig. 

Ja, det var ett skrivfel som jag inte kan rätta nu längre. Tack Marie.

Svara
Close