Gränsvärde
Hej! Har en uppgift jag inte riktigt förstår:
Bestäm gränsvärdet till följande funktion:
limx→−7f(x)=p(x)/q(x)
Om du vet att:
p(x)=x^3+11x^2+35x+49
q(x)=x+7
Hur faktoriserar jag tredjegradspolynomet? Vet att det kan skrivas i faktorform (x-a1)(x-a2)(x-a3) men hur hittar jag nollställena?
Tack på förhand!!
Gissar att ett av (x-a1)(x-a2)(x-a3) är (x+7) så att det går att förkorta
Visa spoiler
Gränsvärdet = 28
Det var lite knepigt att räkna ut a1 a2 och a3
Två av dem blir komplexa tal som typ 2+i3^(1/2)
Lättare då att utföra polynomdivisionen p(x)/q(x) = (x^3+11x^2+35x+49) / (x+7)
Hjälpsida: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/polynomekvationer-av-hogre-grad
( se mot slutet av sidan under rubriken Polynomdivision )
Du behöver varken bestämma alla nollställen eller hålla på med komplexa tal.
Eftersom täljaren har ett nollställe vid så är en faktor i .
Det betyder att tredjegradspolynomet kan faktoriseras enligt , där du kan bestämma konstanterna , och genom att multiplicera ihop faktorerna och jämföra med det ursprungliga uttrycket för .
Förkorta sedan bråket med och låt gå mot .
Om , vilket enkelt kan kontrolleras, så kan man tolka gränsvärdet som en derivata:
Yngve måste mena att förkorta med (x+7) inte med (x+3) men det förstår du säkert. Ville bara påpeka detta så det inte förvillade dig.
Marie51 skrev:Yngve måste mena att förkorta med (x+7) inte med (x+3) men det förstår du säkert. Ville bara påpeka detta så det inte förvillade dig.
Ja, det var ett skrivfel som jag inte kan rätta nu längre. Tack Marie.