Gränsvärde

Hej! Har en uppgift jag inte riktigt förstår:

Bestäm gränsvärdet till följande funktion:

limx→−7f(x)=p(x)/q(x)

Om du vet att:
p(x)=x^3+11x^2+35x+49
q(x)=x+7

Hur faktoriserar jag tredjegradspolynomet? Vet att det kan skrivas i faktorform (x-a1)(x-a2)(x-a3) men hur hittar jag nollställena?

Tack på förhand!!

Gissar att ett av (x-a1)(x-a2)(x-a3) är (x+7) så att det går att förkorta

Visa spoiler

Gränsvärdet = 28

Det var lite knepigt att räkna ut a1 a2 och a3

Två av dem blir komplexa tal som typ 2+i3^(1/2)

Lättare då att utföra polynomdivisionen p(x)/q(x) = (x^3+11x^2+35x+49) / (x+7)

Hjälpsida: https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/polynomekvationer-av-hogre-grad

( se mot slutet av sidan under rubriken Polynomdivision )

$s å h ä r k a n d u g ö r a o m d u b a r a a n a l y s e r a r l i t e e n k e l t : M a n k a n s e a t t e n a v l ö s n i n g a r n a b l i r x = - 7 o c h d e t g e r o s s (x + 7) s o m e n f a k t o r i p o l y n o m e t . d e t t a g e r o s s : (x + 7) (a x^{2} + b x + c) = x^{3} + 11 x^{2} + 35 x + 49 e f t e r s o m a t t (x - a 2) (x - a 3) b l i r e t t a n d r a g r a n d s p o l y n o m s o m s k r i v s : a x^{2} + b x + c N u m u l t i p l i c e r a r d u o c h f ö r e n k l a r : (x + 7) (a x^{2} + b x + c) = a x^{3} + b x^{2} + c x + 7 a x^{2} + 7 b x + 7 c a x^{3} + b x^{2} + c x + 7 a x^{2} + 7 b x + 7 c = x^{3} + 11 x^{2} + 35 x + 49 g e n o m a t t n u a n a l y s e r a g r a d t a l e n o c h k o e f f i c i e n t e r n a f r a m f ö r v a r i a b l e r n a x s å k a n v i l i s t a u t a l l a o k ä n d a . (1) a x^{3} = x^{3} \to a = 1 (2) b x^{2} + 7 a x^{2} = 11 x^{2} b x^{2} + 7 x^{2} = 11 x^{2} b x^{2} = 4 x^{2} b = 4 (3) 7 c = 49 \to c = 7 (x + 7) (x^{2} + 4 x + 7) = x^{3} + 11 x^{2} + 35 x + 49 s å k a n d u f a k t o r i s e r a p o l y n o m e t . D u k a n s å k l a r t s o m s a g t s k r i v a (x^{2} + 4 x + 7) s o m (x - a 1) (x - a 2) o c h n u m e d u p p g i f t e n : \lim_{x \to - 7} \frac{p (x)}{q (x)} = \lim_{x \to - 7} \frac{(x + 7) (x^{2} + 4 x + 7)}{(x + 7)} = \lim_{x \to - 7} (x^{2} + 4 x + 7) = {(- 7)}^{2} + 4 \times (- 7) + 7 = 49 - 28 + 7 = 49 - 21 = 28$

Du behöver varken bestämma alla nollställen eller hålla på med komplexa tal.

Eftersom täljaren $p(x)$ har ett nollställe vid $x = -7$ så är $(x+7)$ en faktor i $p(x)$ .

Det betyder att tredjegradspolynomet $p(x)$ kan faktoriseras enligt $p(x)=(x+7)(ax^2+bx+c)$ , där du kan bestämma konstanterna $a$ , $b$ och $c$ genom att multiplicera ihop faktorerna och jämföra med det ursprungliga uttrycket för $p(x)$ .

Förkorta sedan bråket med $(x+3)$ och låt $x$ gå mot $-7$ .

Om $p(-7)=0$ , vilket enkelt kan kontrolleras, så kan man tolka gränsvärdet som en derivata:

$\displaystyle \lim_{x\to -7}\frac{p(x)-p(-7)}{x-(-7)}=$

$p'(-7)$

Yngve måste mena att förkorta med (x+7) inte med (x+3) men det förstår du säkert. Ville bara påpeka detta så det inte förvillade dig.

Marie51 skrev:
Yngve måste mena att förkorta med (x+7) inte med (x+3) men det förstår du säkert. Ville bara påpeka detta så det inte förvillade dig.

Ja, det var ett skrivfel som jag inte kan rätta nu längre. Tack Marie.

Svara

Visa senaste svar