Gränsvärde

jagheterså skrev :

 Hur ska jag lösa denna uppgift. 

 

lim                     (4+3/h)
h-oändligheten 

Om $\underset{\mathbf{h}\mathbf{\to }\mathbf{\infty }}{\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}}\left(\begin{array}{c}\mathbf{4}\mathbf{+}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{h}}\end{array}\right)$
Så kommer $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{h}}$ att bli 0 eftersom att ju större h blir så blir kvoten mindre och mindre.

När det står $\underset{\mathbf{a}\mathbf{\to }\mathbf{\infty }}{\mathbf{lim}}$ Så stoppar man in värdet som står efter pilen i variabeln. (bokstaven) 

Om det blir tydligare så kan jag tillägga att $\left(\begin{array}{c}\mathbf{4}\mathbf{+}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{h}}\end{array}\right)$ Representerar en graf, $\mathit{y}\mathbf{=}\left(\begin{array}{c}\mathbf{4}\mathbf{+}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{h}}\end{array}\right)$
Dom frågar vad blir y om $\underset{\mathbf{h}\mathbf{\to }\mathbf{\infty }}{\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}}$ Alltså gränsvärdet för grafen.
Om man tittar utzoomat på grafen så ser man att den tillslut någon gång kommer vara y=4 då x eller i ditt fall h går mot oändligheten.

Ett annat problem $lim h\to \infty \frac{h+\mathrm{\pi }}{h}$ 

hur blir denna? Jag tänker att  oändliheten slår ut varand

ra så vi får 1 i täljaren. Då får vi 1+ pi                                        

Enligt forumreglerna ett problem per tråd, men kan ge ett kort tips:

(h+π)/h = 1+π/h

jagheterså skrev :

Ett annat problem $lim h\to \infty \frac{h+\mathrm{\pi }}{h}$ 

hur blir denna? Jag tänker att  oändliheten slår ut varand

ra så vi får 1 i täljaren. Då får vi 1+ pi                                        

                                 
Jag förstår hur du tänker när du säger att dom slår ut varandra, detta funkar BARA om det är faktorer i täljaren/nämnaren. Tillexempel om det hade stått  $\underset{\mathbf{h}\mathbf{\to }\mathbf{\infty }}{\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}}\frac{\mathbf{h}\mathbf{·}\mathbf{\pi }}{\mathbf{h}}$
Då slår dom ut varandra och svaret blir $\mathbf{1}\mathbf{·}\mathbf{\pi }\mathbf{=}\mathbf{\pi }$

Men i detta fallet så krävs en annan strategi, precis som tomast föreslog så är det klokt att skriva om uttrycket till två bråk så att det ser ut såhär. $\underset{\mathbf{h}\mathbf{\to }\mathbf{\infty }}{\mathbf{lim}}\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{h}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{h}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\infty }}{\mathbf{\infty }}\mathbf{+}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{\infty }}$

Nej, h/h går inte mot oo/oo,  h/h=1 helt enkelt.

Henrik Eriksson skrev :

Nej, h/h går inte mot oo/oo,  h/h=1 helt enkelt.

$\frac{\mathbf{\infty }}{\mathbf{\infty }}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1}$
Eller så kan man även bara uppskatta att $\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{h}}\mathbf{=}\mathbf{1}$
Det blir samma sak och båda sätten är korrekta. 

Nej.

Oändligheten delat med oändligheten är inte alls definierat. Ditt sätt är fel.

Mattepaj skrev :

När det står $\underset{\mathbf{a}\mathbf{\to }\mathbf{\infty }}{\mathbf{lim}}$ Så stoppar man in värdet som står efter pilen i variabeln. (bokstaven) 


Om man tittar utzoomat på grafen så ser man att den tillslut någon gång kommer vara y=4 då x eller i ditt fall h går mot oändligheten.

Nej, hela poängen med gränsvärden är att man närmar sig ett visst värde, inte att en variabel får ett visst värde. Man kan inte alls ersätta a med oändligheten, eftersom man då inte kan beräkna uttrycket.

Man får inte heller värdet 4 "till slut", eftersom det inte finns något slut. När man ökar x går y närmare 4, hur nära som helst. Men exakt 4 blir det inte. Däremot är gränsvärdet exakt 4.

Bubo skrev :

Nej.

Oändligheten delat med oändligheten är inte alls definierat. Ditt sätt är fel.

Du kanske har rätt, kan du bevisa det? :) 
Min uppfattning är att $\infty$ = ett oändligt värde alltså om man tar $\frac{\mathit{o}\mathit{ä}\mathit{n}\mathit{d}\mathit{l}\mathit{i}\mathit{g}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{v}\mathit{ä}\mathit{r}\mathit{d}\mathit{e}}{\mathit{o}\mathit{ä}\mathit{n}\mathit{d}\mathit{l}\mathit{i}\mathit{g}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{v}\mathit{ä}\mathit{r}\mathit{d}\mathit{e}}\mathbf{=}\mathbf{1}$
en oändlighet är ju fortfarande lika stor som en oändlighet, varken större eller mindre. 

Mattepaj skrev :

Bubo skrev :

Nej.

Oändligheten delat med oändligheten är inte alls definierat. Ditt sätt är fel.

Du kanske har rätt, kan du bevisa det? :) 
Min uppfattning är att $\infty$ = ett oändligt värde alltså om man tar $\frac{\mathit{o}\mathit{ä}\mathit{n}\mathit{d}\mathit{l}\mathit{i}\mathit{g}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{v}\mathit{ä}\mathit{r}\mathit{d}\mathit{e}}{\mathit{o}\mathit{ä}\mathit{n}\mathit{d}\mathit{l}\mathit{i}\mathit{g}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{v}\mathit{ä}\mathit{r}\mathit{d}\mathit{e}}\mathbf{=}\mathbf{1}$
en oändlighet är ju fortfarande lika stor som en oändlighet, varken större eller mindre. 

Det resonemanget håller inte generellt för olika uttryck går olika snabbt mot oändligheten. Säg följande gränsvärde där x går mot oändligheten:

e^x / x

Både täljaren och nämnaren går mot oändligheten, men olika snabbt.

Det skulle man kunna tro.

Oändligheter är knepiga att räkna med, och man skall vara glad så länge man slipper. I de här gränsvärdesberäkningarna går vi ju mot oändligheten, vi räknar inte med oändligheten.

Jämför t.ex. summan S1 = 1+2+3+4+5+6+7+8+...  med summan S2 = 1+3+5+7+9+...

Är S1 större än S2? (Vi behöver inte förstöra den här tråden med att fortsätta diskussionen)

EDIT: Rättade skrivfel

Mattepaj skrev :

Bubo skrev :

Nej.

Oändligheten delat med oändligheten är inte alls definierat. Ditt sätt är fel.

Du kanske har rätt, kan du bevisa det? :) 
Min uppfattning är att $\infty$ = ett oändligt värde alltså om man tar $\frac{\mathit{o}\mathit{ä}\mathit{n}\mathit{d}\mathit{l}\mathit{i}\mathit{g}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{v}\mathit{ä}\mathit{r}\mathit{d}\mathit{e}}{\mathit{o}\mathit{ä}\mathit{n}\mathit{d}\mathit{l}\mathit{i}\mathit{g}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{v}\mathit{ä}\mathit{r}\mathit{d}\mathit{e}}\mathbf{=}\mathbf{1}$
en oändlighet är ju fortfarande lika stor som en oändlighet, varken större eller mindre. 

Fast att något inte är definierat är väl inget man bevisar? Det är ganska poänglöst att införa en definition som säger att oändligheten/oändligheten = 1, vad har man för nytta av en sådan definition?

tomast80 skrev :

Mattepaj skrev :

Visa föregående citat

Bubo skrev :

Nej.

Oändligheten delat med oändligheten är inte alls definierat. Ditt sätt är fel.

Du kanske har rätt, kan du bevisa det? :) 
Min uppfattning är att $\infty$ = ett oändligt värde alltså om man tar $\frac{\mathit{o}\mathit{ä}\mathit{n}\mathit{d}\mathit{l}\mathit{i}\mathit{g}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{v}\mathit{ä}\mathit{r}\mathit{d}\mathit{e}}{\mathit{o}\mathit{ä}\mathit{n}\mathit{d}\mathit{l}\mathit{i}\mathit{g}\mathit{t}\mathbf{ }\mathit{v}\mathit{ä}\mathit{r}\mathit{d}\mathit{e}}\mathbf{=}\mathbf{1}$
en oändlighet är ju fortfarande lika stor som en oändlighet, varken större eller mindre. 

Det resonemanget håller inte generellt för olika uttryck går olika snabbt mot oändligheten. Säg följande gränsvärde där x går mot oändligheten:

e^x / x

Både täljaren och nämnaren går mot oändligheten, men olika snabbt.

Hastigheten spelar ingen roll? dom går mot oändligheten, det kommer aldrig sluta att växa men slutdestinationen om det nu finns någon är ju densamma.

$\frac{{\mathbf{e}}^{\mathbf{\infty }}}{\mathbf{\infty }}\mathbf{=}{\mathit{e}}^{\mathbf{\infty }}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\infty }}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{0}$ ?

Intressant och lärorik diskussion. Ja, vi kan ta det via pm.
Har nog inte helt och hållet kläm på dehär med oändligheten. Ska läsa på mer.

Hej Mattepaj!

Låtsas som om oo är ett reellt tal.

Vad har detta tal för karakteristisk egenskap? Jo, det är större än alla reella tal; med andra ord, om $T$ är ett reellt tal så är $T \leq oo.$ 

Eftersom oo är ett reellt tal så är summan $T= oo + oo$ också ett reellt tal. För detta tal ska det alltså gälla att $oo + oo \leq oo,$ vilket är samma sak som att $(2-1)\cdot \infty \leq 0.$ Eftersom $2-1 = 1$ så följer det att $\infty \leq 0.$ Men eftersom $0$ är ett reellt tal så måste det gälla att $0\leq \infty.$ Vi har kommit fram till slutsatsen att $\infty \leq 0 \leq \infty,$ vilket betyder att $0 = \infty.$ 

Eftersom $0\leq 1 \leq \infty$ så följer det att $1 = \infty.$ På samma sätt följer det att $T = \infty$ för alla reella tal $T.$ Detta betyder att det bara finns ett enda reellt tal, och det är $\infty.$ Detta är löjligt.

Det var alltså fel att påstå att oo är ett reellt tal.

Albiki

Albiki skrev :

Hej Mattepaj!

Låtsas som om oo är ett reellt tal.

Vad har detta tal för karakteristisk egenskap? Jo, det är större än alla reella tal; med andra ord, om $T$ är ett reellt tal så är $T \leq oo.$ 

Eftersom oo är ett reellt tal så är summan $T= oo + oo$ också ett reellt tal. För detta tal ska det alltså gälla att $oo + oo \leq oo,$ vilket är samma sak som att $(2-1)\cdot \infty \leq 0.$ Eftersom $2-1 = 1$ så följer det att $\infty \leq 0.$ Men eftersom $0$ är ett reellt tal så måste det gälla att $0\leq \infty.$ Vi har kommit fram till slutsatsen att $\infty \leq 0 \leq \infty,$ vilket betyder att $0 = \infty.$ 

Eftersom $0\leq 1 \leq \infty$ så följer det att $1 = \infty.$ På samma sätt följer det att $T = \infty$ för alla reella tal $T.$ Detta betyder att det bara finns ett enda reellt tal, och det är $\infty.$ Detta är löjligt.

Det var alltså fel att påstå att oo är ett reellt tal.

Albiki

Mycket bra. :)

Om täljare och nämnare går mot oändligheten kan vi få lite vad som helst tex

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{e^x}=0 \\ och \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle e^x}}{{\displaystyle x}}=\infty \end{gathered}$$