Gränsvärde

Nämnaren går ju mot 0 när x går mot 1. Om inte täljaren också går mot 0 när x går mot 1 så divergerar uttrycket när x går mot 1. 

Dr. G skrev :

Nämnaren går ju mot 0 när x går mot 1. Om inte täljaren också går mot 0 när x går mot 1 så divergerar uttrycket när x går mot 1. 

Jag förstår inte hur du menar.

Hej!

Uppgift 5b: Bestäm det värde på konstanten $a$ som gör följande gränsvärde ändligt.

    $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^2-2(a+1)x+3a-1}{x^2-x}.$

Lösning. Nämnaren kan skrivas $x(x-1)$ och en kvadratkomplettering av täljaren ger

    $\displaystyle x^2 - 2ax - 2x + 3a -1 = (x-1)^2 - 2ax + 3a - 2 = (x-1)^2 - 2a(x-b)\ ,$

där jag inför beteckningen $b = \frac{2-3a}{2a} = \frac{1}{a} - \frac{3}{2}.$

Gränsvärdet kan skrivas

    $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)^2 - 2a(x-b)}{x(x-1)} = \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)}{x} - 2a\cdot \lim_{x\to 1}\frac{x-b}{x(x-1)}.$

Om du sätter $b = 1$ så är gränsvärdet ändligt (lika med $-2a$). Kravet $b = 1$ är samma sak som kravet $\frac{1}{a} = \frac{5}{2}.$

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Uppgift 5b: Bestäm det värde på konstanten $a$ som gör följande gränsvärde ändligt.

    $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^2-2(a+1)x+3a-1}{x^2-x}.$

Lösning. Nämnaren kan skrivas $x(x-1)$ och en kvadratkomplettering av täljaren ger

    $\displaystyle x^2 - 2ax - 2x + 3a -1 = (x-1)^2 - 2ax + 3a - 2 = (x-1)^2 - 2a(x-b)\ ,$

där jag inför beteckningen $b = \frac{2-3a}{2a} = \frac{1}{a} - \frac{3}{2}.$

Gränsvärdet kan skrivas

    $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)^2 - 2a(x-b)}{x(x-1)} = \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)}{x} - 2a\cdot \lim_{x\to 1}\frac{x-b}{x(x-1)}.$

Om du sätter $b = 1$ så är gränsvärdet ändligt (lika med $-2a$). Kravet $b = 1$ är samma sak som kravet $\frac{1}{a} = \frac{5}{2}.$

Albiki

Nja jag hänger inte med... Första frågan är VARFÖR täljaren måste gå mot noll? apropå vad de skriver i lösningen till tentan (länk 2)

Är du med på att ett uttryck som går mot "1/0" går mot oändligheten, d.v.s divergerar? Tänk 1/x då x går mot 0. 

Även ett uttryck som 10^(-100)/x divergerar då x går mot 0.

Vad går 17/x mot när x går mot noll? Naturligtvis mot oändligheten, så det finns inget gränsvärde. Vad går 17x/x mot när x går mot noll? Naturligtvis mot 17. Om du håller med om det håller du nog med om att täljaren också måste gå mot noll för att det ska finnas ett gränsvärde.

Henrik Eriksson skrev :

Vad går 17/x mot när x går mot noll? Naturligtvis mot oändligheten, så det finns inget gränsvärde. Vad går 17x/x mot när x går mot noll? Naturligtvis mot 17. Om du håller med om det håller du nog med om att täljaren också måste gå mot noll för att det ska finnas ett gränsvärde.

Varför går inte 17x/x mot noll? 17*0=0

gulfi52 skrev :

Henrik Eriksson skrev :

Vad går 17/x mot när x går mot noll? Naturligtvis mot oändligheten, så det finns inget gränsvärde. Vad går 17x/x mot när x går mot noll? Naturligtvis mot 17. Om du håller med om det håller du nog med om att täljaren också måste gå mot noll för att det ska finnas ett gränsvärde.

Varför går inte 17x/x mot noll? 17*0=0

Bara för att täljaren går mot noll betyder inte det att kvoten går mot noll.

Yngve skrev :

gulfi52 skrev :

Visa föregående citat

Henrik Eriksson skrev :

Vad går 17/x mot när x går mot noll? Naturligtvis mot oändligheten, så det finns inget gränsvärde. Vad går 17x/x mot när x går mot noll? Naturligtvis mot 17. Om du håller med om det håller du nog med om att täljaren också måste gå mot noll för att det ska finnas ett gränsvärde.

Varför går inte 17x/x mot noll? 17*0=0

Bara för att täljaren går mot noll betyder inte det att kvoten går mot noll.

Nä... jag greppar det verkligen inte...

Vad är x/x? Denna kvot har samma värde även om x går mot oändligheten.

Hej!

Om gränsvärdet ger ett uttryck av typen $0/0$ så finns det en chans att gränsvärdet existerar, eftersom sådana uttryck kan representera vilket (ändligt) tal som helst. 

Om gränsvärdet ger ett uttryck av typen $c/0$ (där $c$ är ett tal) så existerar gränsvärdet inte, eftersom division med noll är odefinierat. 

För att ditt gränsvärde ska ha en chans att existera måste det gälla att BÅDE täljare och nämnare närmar sig 0 då $x$ närmar sig 1. 

Albiki