Gränsvärde

Erika1267 skrev:

Hej behöver hjälp att bestämma följande gränsvärde. Kom inte längre än det jag har skrivit, får inte använda hospitals regel. 

Några tips? 

 

Vet om att ln( 1 + (1/t))^t går mot värdet e då t—> oändligheten, men vet inte hur jag ska använda mig av det här

kan serieutveckling av täljaren vara till ngn hjälp?

Ture skrev:

kan serieutveckling av täljaren vara till ngn hjälp?

Har tyvärr inte lärt mig det

$\lim_{x\rightarrow 0+}\dfrac{\ln(1+2x)}{x}$ ( Sätt t=1/x):

$\lim_{t\rightarrow \infty} \ln(1+\frac{2}{t})^t$. Omskrivning:

$\ln\left( \displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty} (1+\frac{2}{t})^t\right)=\ln e^2=2$.

dr_lund skrev:

$\lim_{x\rightarrow 0+}\dfrac{\ln(1+2x)}{x}$ ( Sätt t=1/x):

$\lim_{t\rightarrow \infty} \ln(1+\frac{2}{t})^t$. Omskrivning:

$\ln\left( \displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty} (1+\frac{2}{t})^t\right)=\ln e^2=2$.

Hur vet du att det blir lne^2?

Standardgränsvärde:

Sats om sammansatta funktioners gränsvärde: (Se t ex Adams 8 ed., kap 1.4, sats 7):

$\lim_{x\to\infty}f(g(x))=f(\lim_{x\to\infty}g(x))$

Med följande omskrivning kan man identifiera det som en derivata.

$f(x)=\ln(1+2x)$

$\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(1+2x)-\ln(1+2\cdot 0)}{x-0}=$

$\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$

$f'(x)=\frac{2}{1+2x}\Rightarrow$

$f'(0)=2$