Gränsvärde

Du skall låta x närma sig 0 mer och mer, men x skall hela tiden vara ett värde i definitionsmängden för funktionen. Vet inte om det var din fråga.

för båda funtionerna 

lim x --> 0       1/x²   

lim x-->         1/roten ur x

 0 finns inte med i defenitionsmängden för varken av funktionerna

men 1/x² har ett gräns värde medans

1/roten ur x inte har det

Undrar vad som definierar om en funktion har ett gräsvärde

För att ett gränsvärde ska existera så måste det vara samma oavsett från vilken sida man närmar sig.

Exempelvis detta gränsvärde

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}$

existerar inte. Ty om vi närmar oss från den negativa sidan av 0:an och hela tiden väljer mindre och mindre tal så kommer gränsvärdet gå mot $\infty$.

Medan om vi närmar oss från andra sidan och väljer tal som är mindre och mindre negativa tal så kommer gränsvärdet gå mot $-\infty$.

Detta kan du även se på grafen. Därav sägs detta gränsvärde ej existera eftersom vi får olika svar beroende på vilken sida vi kommer ifrån.

Ett gränsvärde kan antingen vara ett tal som det går emot. Det kan också gå mot $\pm \infty$. Då kallas det ibland ett oegentligt gränsvärde.

Jag vet inte vad du menar med negativa tal- Även om det går mot ett negativt tal, så är det ett gränsvärde ja. 

Om du menar att det är viktigt om man kommer från negativa eller positiva sidan av 0:an som i ditt fall, så ja det spelar roll.

Om man bara är intresserad av ena sidan av gränsvärdet så kan man teckna: $\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{1}{x} eller \underset{x\to 0-}{\lim }\frac{1}{x}$

erik skrev:

för båda funtionerna 

lim x --> 0       1/x²   

lim x-->         1/roten ur x

 

 0 finns inte med i defenitionsmängden för varken av funktionerna

men 1/x² har ett gräns värde medans

1/roten ur x inte har det

Undrar vad som definierar om en funktion har ett gräsvärde

En funktion f har ett (ändligt) gränsvärde g då x går mot a om 

för varje tal $\epsilon$ > 0 vi kan finna ett tal $\delta$ > 0 sådant att för varje x i funktionens definitionsmängd som uppfyller 0 < |x - a|  < $\delta$ det gäller att |f(x) - g| < $\epsilon$.

Oändliga gränsvärden kan definieras på liknande sätt.

Som du ser är definitionen ganska komplicerad. När jag såg den första gången fattade jag ingenting.

g behöver inte vara ett positivt tal.

Dessutom behöver a inte ligga i funktionens definitionsmängd, dock måste det gå att finna värden x i funktionens definitionsmängd som ligger godtyckligt nära a.

Jag förstår inte riktigt varför 1/$\sqrt{x}$ inte skulle anses gå mot oändligheten då x går mot 0 dock.