Gränsvärde

Du frågar om gränsvärdet $\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{\ln n}{n})^{1/n}$, stämmer det?

Ett förslag är att studera logaritmen $\ln (\frac{\ln}{n})^{1/n}$ som skrivs $\frac{1}{n}\cdot (\ln\ln n - \ln n)$.

Albiki skrev:

Ett förslag är att studera logaritmen $\ln (\frac{\ln}{n})^{1/n}$ som skrivs $\frac{1}{n}\cdot (\ln\ln n - \ln n)$.

Är detta rätt? 

Tankegång: För väldigt stora n blir lnlnn-lnn väldigt litet, 1/n går mot noll, allt går mot noll. Eller, vad än lnlnn-lnn ökar med så ökar 1/n snabbare vilket medför att allt går mot noll. Men i detta fallet hade jag;

1/n * ln[ln(n)/n] = 1/n * {ln[lnn] - lnn} = 0, e^(0) = 1

blygummi skrev:

Tankegång: För väldigt stora n blir lnlnn-lnn väldigt litet, 1/n går mot noll, allt går mot noll. Eller, vad än lnlnn-lnn ökar med så ökar 1/n snabbare vilket medför att allt går mot noll. Men i detta fallet hade jag;

1/n * ln[ln(n)/n] = 1/n * {ln[lnn] - lnn} = 0, e^(0) = 1

Det går mot 0, men det blir aldrig 0, så du borde använda "lim" och inte bara likhetstecken.

Laguna skrev:

blygummi skrev:

Tankegång: För väldigt stora n blir lnlnn-lnn väldigt litet, 1/n går mot noll, allt går mot noll. Eller, vad än lnlnn-lnn ökar med så ökar 1/n snabbare vilket medför att allt går mot noll. Men i detta fallet hade jag;

1/n * ln[ln(n)/n] = 1/n * {ln[lnn] - lnn} = 0, e^(0) = 1

Det går mot 0, men det blir aldrig 0, så du borde använda "lim" och inte bara likhetstecken.

Tack, jag var så fokuserad på själva problemet att jag glömde det.$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left[\ln \left(\ln \right(n) - \ln (n\left)\right)\right] \to 0, då n\to \infty$, för att n växer snabbare än ln(n). Detta var vad jag möjligtvis bör ha skrivit, hoppas jag.