Gränsvärde

Börja med att göra det som står i uppgiften: Visa att... för fyra olika derivator. Gränsvärden verkar vara en bra idé.

Vad krävs för att derivatan f'(0) skall existera?

Det är ju 4 derivator? Fast 2 och 2 likadana. Tror att derivata finns om den är samma från alla håll? Eller är det då gränsvärdet finns? Hur ska jag visa vad de blir när jag inte vet hur man räknar gränsvärdet??

Låt den variabel det inte handlar om vara 0, och beräkna gränsvärdena på samma sätt som du gjorde i Ma3.

Båda ska bli noll. Jag vet ju redan att gränsvärdena finns, och man går väl bara längs x- och y-axel när man vill motbevisa att de finns? Annars måste man ju gå i cirkel från alla håll?  Matte 3 låter väldigt efter min tid 😅, hur gör man där?

Matte 3 låter väldigt efter min tid 😅, hur gör man där?

Precis likadant som man gjorde när jag gick på gymnasiet på 1980-talet.

Det står i uppgiften att du skallvasa att de fyra derivatorna har värdena 0 respektive 1. Det beryder att du skall visa att gränsvärdena när x (respektive y) går mot 0 har de angivna värdena.

Jag hittar inget att bryta ut, som i länken. Och att bara stoppa in 0 överallt ger inte direkt ngt. Så jag fattar inte vad du menar jag ska göra.

Jag kan sätta x till noll och räkna ut y och sen byta, men jag tror inte det räcker för att visa att det gäller överallt. Det gjorde inte det i förra kursen, då hade vi gränsvärden som bara blev ngt annat om man satte x=y tex. 

Det är en del som gått snett här. Till att börja med har vi:

$$\begin{gathered} u_x=\frac{x^4+6x^2{y}^2-3y^4}{(x^2+y^2{)}^2} \\ {u}_y=\frac{-8x^{3}y}{(x^2+y^2{)}^2} \\ {v}_x=\frac{-8x{y}^3}{(x^2+y^2{)}^2} \\ {v}_y=\frac{y^4+6x^2{y}^2-3x^4}{(x^2+y^2{)}^2} \end{gathered}$$

Alltså är det inte så att derivatorna är lika med varandra, de är faktiskt variabelpar-speglingar av varandra. Däremot så ska du undersöka om Cauchy-Riemanns ekvationer uppfylls i origo (de uppfylls för alla lika talpar (x,y) där x = y). Det kan nämligen upplevas som besynnerligt att så är fallet om derivatan inte existerar. 

Sedan när du ska undersöka punkterna ser du att du inte kan föra in punkten (0,0) direkt i någon av derivatorna eftersom du får obestämda former. Därmed måste du tillämpa något form av gränsvärde för att säga något om punkten. Det gör du enklast genom att studera respektive funktion med en polär omskrivning.

Oj, ska tydligen inte lita för mkt på facit 🙈 Jag kom såhär långt med polär form:

Men jag får det till att gränsvärdet beror på vinkeln? Sen fattar jag fortfarande inte riktigt vad som ska visas. Hur vet vi att derivatan inte finns?

Micimacko skrev:

Oj, ska tydligen inte lita för mkt på facit 🙈

Vad menar du att facit säger? Du kan se resultatet för $u_x$ här:

Wolfram Alpha.

Jag kom såhär långt med polär form:

Men jag får det till att gränsvärdet beror på vinkeln? Sen fattar jag fortfarande inte riktigt vad som ska visas. Hur vet vi att derivatan inte finns?

Testa att närma dig punkten via den reella axeln och den imaginära axeln för respektive funktion. Om du får samma svar är Cauchy-Riemann ekvationerna uppfyllda.

Det vi ska bevisa är att det är två kriterier som krävs för komplex deriverbarhet. Dels att Cauchy-Riemann ekvationerna gäller i punkten för funktionen och dels att den är reell-värd differentierbar i punkten. Det du kan visa med din polära form är att den beror på vilken riktning man tar.

Du kan läsa mer om det här: Complex differentiability

Tror jag fattar :D Tack!

Hej!

Om $z=re^{i\theta}$ så är $\bar{z}=re^{-i\theta}$ vilket ger uttrycket $\bar{z}^2/z = re^{-i3\theta}.$ Detta betyder att funktionen $f$ ses som en komplexvärd funktion av de två reella variablerna $r$ och $\theta$, så att Kedjeregeln ger derivatan $f'(z)$ enligt följande uttryck. 

    $\displaystyle\frac{df}{dz} = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \frac{1}{\partial z/\partial r} + \frac{\partial f}{\partial \theta} \cdot \frac{1}{\partial z/\partial \theta}=e^{-i\theta}\cdot(\frac{\partial f}{\partial r}-i\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}).$

Med den givna funktionen $f(r,\theta) = re^{-i3\theta}$ fås derivatan

    $\frac{df}{dz}=-2e^{-i4\theta}.$

• Om det komplexa talet $z$ närmar sig origo längs strålen $\theta=0$ närmar sig differenskvoten $(f(z)-f(0))/z$ värdet $-2$.
• Om $z$ närmar sig origo längs strålen $\theta=\pi/4$ närmar sig differenskvoten värdet $2$.