gränsvärde

Hej, kan någon hjälpa mig med följande uppgifter:

Beräkna $\frac{l i m}{x \to 0^{+}}$ f(x) då

a) f(x)= $\frac{x}{\ln x}$

b) f(x)= $\frac{\ln x}{x}$

Vad jag vet av standardgränsvärde så hade vi fått en etta i b uppgiften om man hade en konstant före x i täljaren men nu står det ju bara x.

ska man bara stoppa in värdet för x alltså 0? i så fall får vi 0 i a

Du kan inte bara stoppa in $x=0$ . Båda funktionerna är ju odefinierade för det. $ln(x)$ växer svagare än $x$ . Så om du du vet att $x$ går "snabbare" mot noll än vad $ln(x)$ gör så får du att $\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{x}{ln(x)}=0$ . Försök använda samma argument vid b.

Det är inte strikt matematiskt utan detta är mer intuitivt. Jag tycker det hjälper mer i början än att bara göra allt rent matematiskt.

Du kan inte stoppa in x = 0 eftersom ln(0) inte är definerat.

Men $\frac{1}{x} \ln (x) = - \frac{1}{x} \ln (\frac{1}{x})$

okej jag är med på att x växer snabbare än lnx och vi får då 0 i täljaren på den första uppgiften vilket ger svaret noll

i den andra uppgiften hamnar vi ju tvärtom och kommer få 0 i nämnaren innan täljaren blir noll.

Kan man då använda att 1/x blir oändlighet?

Standardgränsvärde eller liknande behövs inte här. När x går mot 0 går ln(x) mot -oändligheten (och x går mot 0).

okej jag är med på a uppgiften och jag ser ju att x går mot 0 i b uppgiften och vi har noll i nämnaren och lnx i täljaren men jag är inte med på hur man vet att lnx går mot minus oändlighet då nämnaren blir noll.

Vi kan dela 1 med ett tal som blir mindre och mindre, d v s som närmar sig 0.

Dela 1 med -0,00000000000000000001. Vad blir det?

Dela 1 med -0,0000000000000000000000001. Vad blir det?

Dela 1 med -0,000000000000000000000000000001. Vad blir det?

Ser du mönstret? Det bara växer och växer utan gräns i negativ riktning, d v s det går mot negativa oändligheten.

ja det ser jag men om vi ska räkna med att x går från något tal större än 0 mot 0 eftersom vi har $\frac{l i m}{x \Rightarrow 0^{+}}$ dvs den går från höger mot noll då borde vi väl aldrig kunna få ett negativt värde i nämnaren? och det borde bli oändlighet istället för minus oändlighet?

Jocke011 skrev :
okej jag är med på a uppgiften och jag ser ju att x går mot 0 i b uppgiften och vi har noll i nämnaren och lnx i täljaren men jag är inte med på hur man vet att lnx går mot minus oändlighet då nämnaren blir noll.

ln(x) går mot minus oändligheten då $x \to 0^{+}$ , oavsett vad som står i nämnare eller täljare.

Svara

Visa senaste svar