5 svar
138 visningar
blygummi behöver inte mer hjälp
blygummi 216 – Fd. Medlem
Postad: 19 apr 2019 00:09 Redigerad: 19 apr 2019 00:10

Gränsvärde

Hur görs det steget i beräkningen? Hur blir man av med ln? Jag tänkte att man kanske ändrade på innehåller i ln(...) till ln(e^[x]) men det gjordes uppenbarligen inte. Jag förstod mig på omrskrivningen förut men glömde hur man gjorde den. Det gäller att jobba med standardutvecklingarna. Undrar om jag kan få konkreta tips på hur jag kan ta mig framåt? Tack på förhand!

Här är relevanta länkar:

Fråga (3); http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tma976/1819/solution180823.pdf

Standardutvecklingar; https://sv.m.wikibooks.org/wiki/Formelsamling/Matematik/Taylorutvecklingar

Egocarpo 717
Postad: 19 apr 2019 00:22

Taylor utveckling: ln(1+t)=t-t2/2+O(t3)
Det är väll denna som används på alla ln.
Sen måste man kolla att denna stämmer.  ln(1+x+x2/2+O(x3))= x+x/2 -x2/2+O(x3).

blygummi 216 – Fd. Medlem
Postad: 19 apr 2019 09:43
Egocarpo skrev:

Taylor utveckling: ln(1+t)=t-t2/2+O(t3)
Det är väll denna som används på alla ln.
Sen måste man kolla att denna stämmer.  ln(1+x+x2/2+O(x3))= x+x/2 -x2/2+O(x3).

Det är just det jag har problem med..

Egocarpo 717
Postad: 19 apr 2019 11:36 Redigerad: 19 apr 2019 11:37

ok har du Taylor utvecklat någon gång? Eller vi går mot noll så det blir en mclaurin utveckling.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 19 apr 2019 12:33

Hej!

I närheten av en punkt (aa) kan vissa funktioner (ff) approximeras med polynomfunktioner (pp).

    f(x)=p(x)+r(x)f(x) = p(x) + r(x) där xax \approx a.

Funktionen rr är den så kallade resttermen och beskriver hur mycket funktionen ff skiljer sig från polynomfunktionen pp.

Det finns flera sätt att konstruera polynomfunktionen pp. En metod är via upprepade partiella integrationer av funktionen ff vilket leder till att pp blir så kallade Taylorpolynom. Om man utför tre stycken partialintegrationer av funktionen ff skapas ett Taylorpolynom av grad 3.

    p(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)2!(x-a)2+f'''(a)3!(x-a)3p(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 19 apr 2019 14:51

Om funktionen är f(x)=ln(1+x)f(x) = \ln(1+x) (där x>-1x>-1) blir dess derivator f'(x)=(1+x)-1f'(x) = (1+x)^{-1} och f''(x)=-(1+x)-2f''(x) = -(1+x)^{-2}.

Du vill undersöka hur funktionen beter sig i närheten av punkten x=0x=0 så då bestämmer du ett Taylorpolynom pp kring punkten a=0.a=0. Välj exempelvis ett polynom av grad 2.

    p(x)=f(0)+f'(0)(x-0)+f''(0)2(x-0)2=ln(1+0)+(1+0)-1x+-(1+0)-22x2=x-0.5x2.p(x) = f(0) + f'(0)(x-0)+\frac{f''(0)}{2}(x-0)^2 = \ln (1+0) + (1+0)^{-1}x + \frac{-(1+0)^{-2}}{2}x^2=x-0.5x^2.

Det betyder att du kan skriva

    ln(1+x)=x-0.5x2+r(x)\ln(1+x) = x-0.5x^2+r(x)

där resttermen r(x)r(x) är ''mindre än x2x^2x0x\approx 0''; mer specifikt gäller det att limx0r(x)x2=0.\lim_{x\to0} \frac{r(x)}{x^2} = 0.

Svara
Close