Gränsvärde

Taylor utveckling: ln(1+t)=t-t²/2+O(t³)
Det är väll denna som används på alla ln.
Sen måste man kolla att denna stämmer.  ln(1+x+x²/2+O(x³))= x+x² /2 -x²/2+O(x³).

Egocarpo skrev:

Taylor utveckling: ln(1+t)=t-t²/2+O(t³)
Det är väll denna som används på alla ln.
Sen måste man kolla att denna stämmer.  ln(1+x+x²/2+O(x³))= x+x² /2 -x²/2+O(x³).

Det är just det jag har problem med..

ok har du Taylor utvecklat någon gång? Eller vi går mot noll så det blir en mclaurin utveckling.

Hej!

I närheten av en punkt ($a$) kan vissa funktioner ($f$) approximeras med polynomfunktioner ($p$).

    $f(x) = p(x) + r(x)$ där $x \approx a$.

Funktionen $r$ är den så kallade resttermen och beskriver hur mycket funktionen $f$ skiljer sig från polynomfunktionen $p$.

Det finns flera sätt att konstruera polynomfunktionen $p$. En metod är via upprepade partiella integrationer av funktionen $f$ vilket leder till att $p$ blir så kallade Taylorpolynom. Om man utför tre stycken partialintegrationer av funktionen $f$ skapas ett Taylorpolynom av grad 3.

    $p(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3$.

Om funktionen är $f(x) = \ln(1+x)$ (där $x>-1$) blir dess derivator $f'(x) = (1+x)^{-1}$ och $f''(x) = -(1+x)^{-2}$.

Du vill undersöka hur funktionen beter sig i närheten av punkten $x=0$ så då bestämmer du ett Taylorpolynom $p$ kring punkten $a=0.$ Välj exempelvis ett polynom av grad 2.

    $p(x) = f(0) + f'(0)(x-0)+\frac{f''(0)}{2}(x-0)^2 = \ln (1+0) + (1+0)^{-1}x + \frac{-(1+0)^{-2}}{2}x^2=x-0.5x^2.$

Det betyder att du kan skriva

    $\ln(1+x) = x-0.5x^2+r(x)$

där resttermen $r(x)$ är ''mindre än $x^2$ då $x\approx 0$''; mer specifikt gäller det att $\lim_{x\to0} \frac{r(x)}{x^2} = 0.$