Gränsvärde

Ja instängning låter rimligt. 

Bara sätt ditt gränsvärde

$L < \left="" (\frac{2}{3}="" \right)^x="">$

dvs stryk termerna i täljaren som går mot 0 och bara ersätt nämnaren med 1 då nämnaren förr eller senare blir större än 1. 

Därifrån är det ett standardgränsvärde. 

(ingen "ekv" !!!)

lim (x->+inf) ( x^3 * 2^x + x + 1 ) / ( x^2 * 3^x + sqrt(2*x) ) = || dividera täljaren & nämnaren med x^3

lim (x->+inf) ( 2^x + 1/x^2 + 1/x^3 ) / ( 3^x / x + sqrt(2*x)/x^3 ) = || diverse delar går mot NOLL

lim (x->+inf) ( 2^x + 1/x^2 + 1/x^3 ) / ( 3^x / x + sqrt(2*x)/x^3 ) = || ta bort dem

lim (x->+inf)  2^x / ( 3^x / x ) =

lim (x->+inf)  x * ( 2^x / 3^x ) =

lim (x->+inf)  x * (2/3)^x  = ... blir väl NOLL ... mindre tvivel kvar

När $x>0$ gäller det att 

    $0 <>$

och

    $\frac{1}{x^23^x+\sqrt{2x}} <>$ och även $x^32^x+x+1 <>$

så att man även får en övre begränsning.

    $0 < \frac{x^32^x+x+1}{x^23^x+\sqrt{2x}}="">< \frac{x^32^x+2x^2}{x^23^x}="x\cdot(\frac{2}{3})^x" +="">$

Det gäller att $(\frac{2}{3})^{x}$ avtar snabbare mot 0 än vad $x$ växer mot $\infty$ när $x\to \infty$ och $3^{-x}$ avtar mot noll när $x\to\infty$. Detta betyder att

    $0 \leq \lim_{x\to\infty} \frac{x^32^x+x+1}{x^23^{x}+\sqrt{2x}} \leq 0$

så det sökta gränsvärdet är talet $0$.

Albiki skrev:

När $x>0$ gäller det att 

    $0 <>$

och

    $\frac{1}{x^23^x+\sqrt{2x}} <>$ och även $x^32^x+x+1 <>$

så att man även får en övre begränsning.

    $0 < \frac{x^32^x+x+1}{x^23^x+\sqrt{2x}}="">< \frac{x^32^x+2x^2}{x^23^x}="x\cdot(\frac{2}{3})^x" +="">$

Det gäller att $(\frac{2}{3})^{x}$ avtar snabbare mot 0 än vad $x$ växer mot $\infty$ när $x\to \infty$ och $3^{-x}$ avtar mot noll när $x\to\infty$. Detta betyder att

    $0 \leq \lim_{x\to\infty} \frac{x^32^x+x+1}{x^23^{x}+\sqrt{2x}} \leq 0$

så det sökta gränsvärdet är talet $0$.

Tusen tack Albiki för att du gör de begripligt! Äntligen tror jag mig fatta, ska försöka lösa de andra på liknande sätt och gå tillbaka och göra om vissa. Jag har använt l'hôpitals regel för många uppgifter, men jag tror att det igentligen var tänkt att använda instängning som jag inte förstod helt hur jag skulle göra av att enbart läsa boken. Tack!