Gransvärde

Skriv ut alltsammans så blir det lättare att se:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sum _{k=1}^n{\left(\frac{n+k}{n^4}\right)}^{1/3}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{1/3}+{\left(\frac{{\displaystyle n+2}}{{\displaystyle n}}\right)}^{1/3}+{\left(\frac{{\displaystyle n+3}}{{\displaystyle n}}\right)}^{1/3}+...+{\left(\frac{{\displaystyle n+n}}{{\displaystyle n}}\right)}^{1/3}\right)=$

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{1/3}+{\left(1+\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle n}}\right)}^{1/3}+...+{\left(1+\frac{{\displaystyle n}}{{\displaystyle n}}\right)}^{1/3}\right)$

Vi börjar vid 1/n, dvs. praktiskt taget noll, och slutar vid n/n, dvs. 1. Därför sätter vi integralgränserna till noll och ett. Eftersom vi har valt steglängden 1/n, är stegen vi tar $1·\frac{1}{n}, 2·\frac{1}{n}, 3·\frac{1}{n}, ... , n·\frac{1}{n}$. Börjar du ana var x:et i integranden kommer ifrån?

Men is borde det inte vara x/n typ?

Nej, eftersom vår steglängd, alltså x:et vi sätter in i f(x), är k/n. 

Can't buy it. Förklara som när du förklarar till en liten gullig hund som vägrar gå trots att man drar på koppel.

Integralen $\int_{0}^{1}f(x)\,dx$ kan approximeras av en summa på följande sätt.

1. Dela in integrationsområdet $[0,1]$ i $n$ stycken lika stora delar:

        $[0,\frac{1}{n})\cup[\frac{1}{n},\frac{2}{n})\cup\cdots\cup[\frac{n-1}{n},1].$

2. Integralen skrivs som en summa av integraler.

    $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx = \int_{0}^{1/n}f(x)\,dx + \int_{1/n}^{2/n}f(x)\,dx+\cdots+\int_{1-1/n}^{1}f(x)\,dx.$

3. Över ett intervall $[k/n,k/n+\frac{1}{n})$ approximeras funktionen $f(x)$ med den konstanta funktionen $f(x) = f(k/n)$ vilket gör att integralen över detta intervall approximeras med talet $f(k/n)\cdot \frac{1}{n}.$

    $\displaystyle\int_{k/n}^{k/n+\frac{1}{n}}f(x)\,dx \approx \int_{k/n}^{k/n+1/n}f(k/n)\,dx = f(k/n)\cdot\int_{k/n}^{k/n+1/n}\,dx = f(k/n)\cdot \frac{1}{n}.$

4. Integralen över intervallet $[0,1]$ approximeras av en summa av sådana tal.

    $\int_{0}^{1}f(x)\,dx \approx f(1/n)\cdot \frac{1}{n} + f(2/n)\cdot \frac{1}{n} + \cdots + f(1-\frac{1}{n})\cdot \frac{1}{n}.$

5. Kortfattat kan detta skrivas 

    $\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx \approx \frac{1}{n} \cdot\sum_{k=1}^{n-1}f(k/n).$

Jaaaa.... poletterna börjar att skaka loss...

Den givna summan kan skrivas som en sådan så kallad Riemannsumma.

    $(\frac{n+k}{n^4})^{1/3} = (\frac{n+k}{n} \cdot \frac{1}{n^3})^{1/3} = (1+\frac{k}{n})^{1/3} \cdot \frac{1}{n} \implies \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} (1+\frac{k}{n})^{1/3} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} f(k/n)$

där funktionen $f$ definieras som

    $f(x) = (1+x)^{1/3}$ för $0\leq x\leq1$.

Tack Albiki o Smutso. Jag antar man måste vänja sig :)

dajamanté skrev:

Också, hur skiljer vi rena Riemmansummor vs Riemmansummor som vi använder i Koshi-integral testet?

Stavar man så på franska numera?

Nej man stavar Cauchy såklart. Men jag skriver Koshi för att vi har en running joke, att folk utalar det dåligt i Sverige, som om det var Couch(surfing)chy. Personen i fråga som är också på PA vet vad vi menar med det ;).