gränsvärde

Kanske ett minustecken när du deriverar 1/n?

Som jag tolkar din fråga söker du gränsvärde på

$(\frac{n-3}{n})^n$

$(\frac{n-3}{n})^n=(1+\frac{-3}{n})^n$

Vi studerar $(1+\frac{p}{n})^n$ istället.

Sätt $n=pk$ för något (hel)tal $k$

$(1+\frac{p}{n})^n=(1+\frac{p}{pk})^{pk}=(1+\frac{1}{k})^{pk}=((1+\frac{1}{k})^k)^p \to e^p$

I ditt fall är $p=-3$ vilket ger $e^{-3}$

$\frac{n-3}{n}$ är ett tal som är mindre än 1, och som närmar sig 1 när n går mot oändligheten. Ett tal som är mindre än 1 måste bli nånting mindre än 1 när man upphöjer det till mycket.

WolframAlpha säger att derivatan av $\frac{n-3}{n}$ är $\frac{3}{n(n-3)}$, så det stämmer med dina beräkningar.

$\frac{\ln(\frac{n-3}{n})}{\frac{1}{n}}$, som du har i slutet av andra raden, är ett negativt tal delat med ett positivt tal, d v s positivt. Efter att du har använt l'Hôpitals regel har du ett positivt tal delat med ett positivt tal, d v s ett positivt tal. Om man studerar gränsvärdet i täljaren, ser man att kvoten hela tiden är mindre än 1, så logaritmen har ett negativt värde. Justera för detta, så får du rätt svar.