15 svar
163 visningar
mattejon behöver inte mer hjälp
mattejon 30
Postad: 14 nov 2018 21:57

Gränsvärde

Hej, 

limx0 esin3x-1x

antar att jag ska skriva om den med standardgränsvärderna, men jag har lyckats göra fel alldeles för många gånger nu. 

Några tips ?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 14 nov 2018 22:09

Visa hur du har försökt! Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver för att kunna lösa dina uppgifter själv, inte att någon annan skall servera dig färdiga lösningar på dina problem-

Det är mycket lättare för oss att hjälpa dig om vi vet vad du redan har gjort. Vi som svarar här är bra på matte,men vi är usla på tankeläsning. /moderator

Moffen 1875
Postad: 14 nov 2018 22:10

Hej! Har du testat l'Hopitals?

mattejon 30
Postad: 14 nov 2018 22:15 Redigerad: 14 nov 2018 22:15

Nej, vi har inte lärt oss l'Hopitals än. 

Jag antog att jag skulle använda standardgränsvärdet ex-1x 1 då x 0 , men lyckas inte skriva om uttrycket så jag kan använda det.

tomast80 4249
Postad: 14 nov 2018 22:23 Redigerad: 14 nov 2018 22:25

Om man sätter: 

f(x)=esin3xf(x)=e^{\sin 3x} så kan man direkt identifiera gränsvärdet utifrån derivatans definition:

f'(0)=

limx0f(x)-f(0)x=...

Moffen 1875
Postad: 14 nov 2018 22:28

Hmm, jag tar gärna emot kritik eftersom jag inte är helt säker på detta, men:

För små x är sin(x)x, alltså är esin3x-1x=e3x-1x, gör nu en variabelsubstitution: 

3x=u x=u3e3x-1x=eu-1u3=3*eu-1u

och eftersom 3x=u, limx0limuo och alltså:

limx0esin3x-1x=limu03*eu-1u=3*limu0eu-1u=3*1=3

Som sagt, tar gärna emot kritik, det kändes som lite för mycket "handviftning".

Dr. G 9500
Postad: 14 nov 2018 22:51

Moffens första steg är lite handviftande.

Handviftandet undviks om bråket förlängs med sin(3x)/sin(3x). Faktorerna kan sedan grupperas om till standardgränsvärden. Möjligen vill man även förlänga med 3/3.

Moffen 1875
Postad: 14 nov 2018 23:02
Dr. G skrev:

Moffens första steg är lite handviftande.

Handviftandet undviks om bråket förlängs med sin(3x)/sin(3x). Faktorerna kan sedan grupperas om till standardgränsvärden. Möjligen vill man även förlänga med 3/3.

 Tack! Men om man istället väljer (vilket jag av nån anledning kom på nu, men som typ var det jag ville göra) att Taylorutveckla sin(3x) runt x=0. Skulle "handviftningen" bli mindre aktuell då?

esin3x-1x=e(3x+O(92x3))-1x=e3x-1x=...

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 15 nov 2018 00:48
Moffen skrev:
Dr. G skrev:

Moffens första steg är lite handviftande.

Handviftandet undviks om bråket förlängs med sin(3x)/sin(3x). Faktorerna kan sedan grupperas om till standardgränsvärden. Möjligen vill man även förlänga med 3/3.

 Tack! Men om man istället väljer (vilket jag av nån anledning kom på nu, men som typ var det jag ville göra) att Taylorutveckla sin(3x) runt x=0. Skulle "handviftningen" bli mindre aktuell då?

esin3x-1x=e(3x+O(92x3))-1x=e3x-1x=...

 Detta är ännu värre, eftersom du skrivit att O(9x3/2)=0O(9x^3/2) = 0, vilket det definitivt inte är; för övrigt skriver man inte stora ordo på det sättet, utan endast O(x3)O(x^3).

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 15 nov 2018 00:52

Om man vill använda Maclaurinutveckling så är det på funktionen f(x)=esin3xf(x) = e^{\sin 3x} den lämpligen tillämpas.

    f(x)=f(0)+x·f'(0)+0.5x2f''(0)+o(x2)\displaystyle f(x) = f(0) + x \cdot f'(0) + 0.5x^2 f''(0) + o(x^2)

där lilla ordo x2x^2 är en funktion sådan att limx0o(x2)x2=0.\lim_{x\to 0} \frac{o(x^2)}{x^2} = 0.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 15 nov 2018 00:56

Det gäller att f(0)=1f(0) = 1 och f'(x)=f(x)·3cos3xf'(x) = f(x) \cdot 3\cos 3xf'(0)=3f'(0) = 3; vid närmare eftertanke behöver man inte ta med andragradstermen för att beräkna det sökta gränsvärdet, så det räcker att skriva 

    esin3x=1+3x+o(x)\displaystyle e^{\sin 3x} = 1 + 3x + o(x)

där limx0o(x)x=0.\lim_{x\to 0} \frac{o(x)}{x} = 0.

tomast80 4249
Postad: 15 nov 2018 06:42
Albiki skrev:

Det gäller att f(0)=1f(0) = 1 och f'(x)=f(x)·3cos3xf'(x) = f(x) \cdot 3\cos 3xf'(0)=3f'(0) = 3; vid närmare eftertanke behöver man inte ta med andragradstermen för att beräkna det sökta gränsvärdet, så det räcker att skriva 

    esin3x=1+3x+o(x)\displaystyle e^{\sin 3x} = 1 + 3x + o(x)

där limx0o(x)x=0.\lim_{x\to 0} \frac{o(x)}{x} = 0.

 Snyggt! Eftersom du fått f'(0)=3f'(0)=3 och vi redan identifierat gränsvärdet som denna derivata är vi klara där.

mattejon 30
Postad: 15 nov 2018 12:08

Oj, tack för alla svar. Tyvärr känns det som ni alla är en nivå ovanför mig dock, för hänger inte riktigt med, detta är min första envariabelskurs på uni, och vi har precis börjat. Alla andra liknande uppgifter jag löst, har varit att lista ut vilket standardgränsvärde man ska använda, och sen förlänga resten av bråket, ungefär som Dr. G sa, men jag lyckas inte med det heller.

Trinity 191 – Fd. Medlem
Postad: 15 nov 2018 13:06 Redigerad: 15 nov 2018 13:07

esin3x-1x=esin3x-1x·sin3xsin3x·33=esin3x-1sin3x·sin3x3x·311·1·3=3\frac{e^{\sin{3x}}-1}{x}=\frac{e^{\sin{3x}}-1}{x}\cdot\frac{\sin 3x}{\sin 3x}\cdot\frac{3}{3}=\frac{e^{\sin{3x}}-1}{\sin 3x}\cdot\frac{\sin 3x}{3x}\cdot\frac{3}{1}\to 1\cdot1\cdot3=3

Tendo 158
Postad: 15 nov 2018 13:12

Så om vi skippar maclaurinutveckling som kommer i slutet av kursen.

mattejon 30
Postad: 15 nov 2018 13:28
Tendo skrev:

Så om vi skippar maclaurinutveckling som kommer i slutet av kursen.

 Tack, nu förstår jag tom äntligen vad som händer.

Svara
Close