Gränsvärde, 2 variabler, hur skriver man?

Då betraktar man det som att x och y är koordinater för en punkt i planet och skriver $\underset{(x,y)\to (74,34)}{\lim }\frac{x+y}{\sqrt{xy}-2x+y}$.Du kan läsa mer här: Gränsvärden

parveln skrev:

Då betraktar man det som att x och y är koordinater för en punkt i planet och skriver $\underset{(x,y)\to (74,34)}{\lim }\frac{x+y}{\sqrt{xy}-2x+y}$.Du kan läsa mer här: Gränsvärden

Mycket fint! Men tänk om värdet som x och y ska gå emot gör så att värdet inte längre existerar i planet? Om någon av variablerna går mot oändligheten. Skriver man fortfarande på samma sätt? 

Funktionens värde är ju i detta fall reellt så det existerar på linjen. Funktionens definitionsmängd(tillåtna x och y-värden) ligger dock som sagt i planet. Man brukar gå igenom koncept som detta i en kurs som heter flervariabelanalys, analys i flera variabler eller något liknande. Vad jag kan komma ihåg så kräver man att om en funktion ska ha ett gränsvärde när (x,y) går mot oändligheten så måste funktionen närma sig detta tal i alla riktningar mot oändligheten. Oändligheten är i detta fall det man närmar sig när avståndet från origo blir större.

Om man bara är intresserad av en riktning får man istället ett envariabelgränsvärde, tex kanske man undrar vad som händer med funktionen på parabeln $y=x^2$när x går mot positiva oändligheten. För att lösa det byter man ut alla y i funktionen mot $x^2$. Sen kan man lösa det med metoder från envariabelanalysen.

parveln skrev:

Funktionens värde är ju i detta fall reellt så det existerar på linjen. Funktionens definitionsmängd(tillåtna x och y-värden) ligger dock som sagt i planet. Man brukar gå igenom koncept som detta i en kurs som heter flervariabelanalys, analys i flera variabler eller något liknande. Vad jag kan komma ihåg så kräver man att om en funktion ska ha ett gränsvärde när (x,y) går mot oändligheten så måste funktionen närma sig detta tal i alla riktningar mot oändligheten. Oändligheten är i detta fall det man närmar sig när avståndet från origo blir större.

Om man bara är intresserad av en riktning får man istället ett envariabelgränsvärde, tex kanske man undrar vad som händer med funktionen på parabeln $y=x^2$när x går mot positiva oändligheten. För att lösa det byter man ut alla y i funktionen mot $x^2$. Sen kan man lösa det med metoder från envariabelanalysen.

Men om jag har ett matematiskt uttryck med två variabler och sedan testar om ett gränsvärde för x=10 och y=20 existerar då bara gissar jag på att den ligger på funktionens graf ? och om jag får ut ett gränsvärde så stämmer det, annars existerar det ej? 

Din funktion är definierad för alla talpar (x,y) som uppfyller $\sqrt{xy}-2x+y\ne 0$. Din funktion har sin definitionsmängd i planet, men sin värdemängd på den reella linjen. Antingen kan man se funktionen som en apparat som tar punkter från planet och gör om dem till tal på linjen, eller så kan man åskådliggöra funktionen genom att rita värdemängden "ovanför" definitionsmängden, som man gör när man ritar grafer till funktioner av en variabel. Om man låter xy-planet vara definitionsmängden kan man lägga till en dimension i z-led och låta värdena funktionen antas vara värdet i z-led. Då får man en så kallad funktionsyta. För övrigt är din funktion är ju i punkten (10,20) eftersom nämnaren i den punkten inte blir 0.

parveln skrev:

Din funktion är definierad för alla talpar (x,y) som uppfyller $\sqrt{xy}-2x+y\ne 0$. Din funktion har sin definitionsmängd i planet, men sin värdemängd på den reella linjen. Antingen kan man se funktionen som en apparat som tar punkter från planet och gör om dem till tal på linjen, eller så kan man åskådliggöra funktionen genom att rita värdemängden "ovanför" definitionsmängden, som man gör när man ritar grafer till funktioner av en variabel. Om man låter xy-planet vara definitionsmängden kan man lägga till en dimension i z-led och låta värdena funktionen antas vara värdet i z-led. Då får man en så kallad funktionsyta. För övrigt är din funktion är ju i punkten (10,20) eftersom nämnaren i den punkten inte blir 0.

Okej, tack så mycket.