gränsvärde

Som tur är, har du inte multiplicerat med konjugatet utan förlängt med konjugatet - det är en viktig skillnad.

Att bryta ut x är en bra idé, men vad är det du har gjort med nämnaren när du försöker bryta ut x? Om du multiplicerar in x under rotmärket igen, märker du att det är något som inte stämmer. Tänk också på att "roten ur" alltid är positivt.

är det bättre om man istället bara bryter ut $\sqrt{x^2}$ och multiplicerar med?  så vi får $\sqrt{x^2}\times \left(1-\sqrt{3}-1\right)$ men även då kommer det ju inte att stämma för då får vi ju noll i nämnaren. Jag förstår inte riktigt hur man ska göra då vi har rottecknet i nämnaren.

Om det blir noll när du har brutit ut fast det inte var det från början så har du gjort fel.

Gör den här deluppgiften först: vad blir $\frac{\sqrt{x^2-3x}}{x^2}$?

Du har tydligen glömt att $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$. Om du tänker på det, kommer det att gå bättre. Då kommer värdet under rot-tecknet att gå mot 1 när x går mot oändligheten.

om man då bryter ut x^2 framför rottecknet kan vi väl skriva om det som $\sqrt{x^2-3x}=\sqrt{x\left(x-3\right)}=x\sqrt{1-3}$ men då får vi ju minus under rottecknet.

B.N. skrev:

om man då bryter ut x^2 framför rottecknet kan vi väl skriva om det som $\sqrt{x^2-3x}=\sqrt{x\left(x-3\right)}=x\sqrt{1-3}$ men då får vi ju minus under rottecknet.

Nej det stämmer inte.

Du bör alltid kontrollera dina resultat:

Om du utgår från $x\sqrt{1-3}$ och multiplicerar in $x$ under rottecknet så får du 

$x\sqrt{1-3}=\sqrt{x^2(1-3)}=$

$=\sqrt{x^2-3x^2}=\sqrt{-2x^2}$

Detta är inte samma som ditt originaluttryck $\sqrt{x^2-3x}$ så din faktorisering var tydligen fel.

------

Om du ska bryta ut $x^2$ så blir det istället $x^2-3x=x^2·1-x^2·\frac{3}{x}=x^2(1-\frac{3}{x})$

Smaragdalena skrev:

Du har tydligen glömt att $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$. Om du tänker på det, kommer det att gå bättre. Då kommer värdet under rot-tecknet att gå mot 1 när x går mot oändligheten.

 Smaragdlena, detta gäller inte då $a<>$, då blir det istället:

$\sqrt{a^2b}=-a\sqrt{b}$.

Generellt gäller att (för alla $a$):

$\sqrt{a^{2}b}=\left|a\right|\sqrt{b}$.

tomast80 skrev:

Smaragdalena skrev:

Du har tydligen glömt att $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$. Om du tänker på det, kommer det att gå bättre. Då kommer värdet under rot-tecknet att gå mot 1 när x går mot oändligheten.

 Smaragdlena, detta gäller inte då $a<>$, då blir det istället:

$\sqrt{a^2b}=-a\sqrt{b}$.

Generellt gäller att (för alla $a$):

$\sqrt{a^{2}b}=\left|a\right|\sqrt{b}$.

 Det har du rätt i, jag glömde absolutbeloppet här. Däremot hade jag tänkt på det i inlägget lite högre upp: 

Att bryta ut x är en bra idé, men vad är det du har gjort med nämnaren när du försöker bryta ut x? Om du multiplicerar in x under rotmärket igen, märker du att det är något som inte stämmer. Tänk också på att "roten ur" alltid är positivt.

Yngve skrev:

B.N. skrev:

om man då bryter ut x^2 framför rottecknet kan vi väl skriva om det som $\sqrt{x^2-3x}=\sqrt{x\left(x-3\right)}=x\sqrt{1-3}$ men då får vi ju minus under rottecknet.

Nej det stämmer inte.

Du bör alltid kontrollera dina resultat:

Om du utgår från $x\sqrt{1-3}$ och multiplicerar in $x$ under rottecknet så får du 

$x\sqrt{1-3}=\sqrt{x^2(1-3)}=$

$=\sqrt{x^2-3x^2}=\sqrt{-2x^2}$

Detta är inte samma som ditt originaluttryck $\sqrt{x^2-3x}$ så din faktorisering var tydligen fel.

------

Om du ska bryta ut $x^2$ så blir det istället $x^2-3x=x^2·1-x^2·\frac{3}{x}=x^2(1-\frac{3}{x})$

 okej men då får vi väl noll i nämnaren om vi ställer upp det som $\frac{x}{x}\times \frac{\left(-3\right)}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{3}{x}}}{\displaystyle -}{\displaystyle 1}}$ eftersom 3/x går mot noll så får vi 1-1 i nämnaren.

Ja, men det har blivit fel. Läs det som står om absolutbelopp högre upp. sqrt(x*x*a) är inte x*sqrt(a) när x är negativt.

När du har gränsvärdes uppgifter likt denna $\underset{x\to -\infty }{\lim }(\sqrt{x2-3x}+x)$ fick jag lära mig i början på universitetet att om man tycker det är svårt med absolutbeloppsberäkning som uppkommer när $x\to -\infty$ som jag och många andra har haft så ska du alltid byta variabel det första du gör när du ser en sån här uppgift så kommer du att få: $-x=t$ vilket gör att $t\to \infty$ som är betydligt mycket skönare än att tänka på absolutbeloppstecken så gör du en mycket mindre risk för teckenfel. Sen gjorde jag fel i början att byta tillbaka variabeln efter jag hade brutet ut termerna och faktoriserat bort dom, det ska du inte göra, behåll alltid variabeln t om du nu byter till den i början. 

Om du provar detta sätt, hur ser uttrycket ut då från start?

lim(x->(-inf)) sqrt(x^2-3*x) + x = || substitution t = (-x)

lim(t->(+inf)) sqrt(t^2+3*t) - t = || och nu ???

a)

lim(t->(+inf)) sqrt(t^2+3*t) - t = 

lim(t->(+inf)) sqrt(t^2*(1+3/t)) - t =

lim(t->(+inf)) sqrt(t^2)*sqrt(1+3/t) - t =

lim(t->(+inf)) t*sqrt(1+3/t) - t =

lim(t->(+inf)) t*(sqrt(1+3/t) - 1) = 

(+inf) * 0 || leder ingenvart :-(

b)

lim(t->(+inf)) sqrt(t^2+3*t) - t = 

lim(t->(+inf)) sqrt(t*(t+3)) - t =

lim(t->(+inf)) sqrt(t)*sqrt(t+3)) - t =

lim(t->(+inf)) sqrt(t) * ( sqrt(t+3)) - sqrt(t) ) = 

(+inf) * ( (+inf) - (+inf) ) || leder ingenvart :-(

c)

lim(t->(+inf)) sqrt(t^2+3*t) - t = || förlänger med konjugat (sqrt(t^2+3*t) + t)

lim(t->(+inf)) (sqrt(t^2+3*t) - t) * (sqrt(t^2+3*t) + t) / (sqrt(t^2+3*t) + t) =

lim(t->(+inf)) ( (sqrt(t^2+3*t))^2 - t^2 ) / (sqrt(t^2+3*t) + t) =

lim(t->(+inf)) (t^2+3*t -t^2) / (sqrt(t^2+3*t) + t) =

lim(t->(+inf)) 3 * t / (sqrt(t^2+3*t) + t) =

lim(t->(+inf)) 3 * t / (sqrt(t^2*(1+3/t)) + t) =

lim(t->(+inf)) 3 * t / (sqrt(t^2)*sqrt(1+3/t)) + t) =

lim(t->(+inf)) 3 * t / (t * sqrt(1+3/t)) + t) =

lim(t->(+inf)) 3 * t / (t * (sqrt(1+3/t)) + 1)) = || förkortar med "t"

lim(t->(+inf)) 3 / (sqrt(1+3/t)) + 1) = || "(3/t)" är ju NOLL

lim(t->(+inf)) 3 / (sqrt(1+0)) + 1) = 3 / 2 || Verkställt !!!

Symbolen $x$ betecknar ett stort negativt tal.

    $\sqrt{x^2-3x}+x =\frac{(\sqrt{x^2-3x}+x)\cdot(\sqrt{x^2-3x}-x)}{\sqrt{x^2-3x}-x} = \frac{-3x}{\sqrt{x^2-3x}-x} = \frac{-3x}{|x|\sqrt{1-\frac{3}{x}}-x} = \frac{-3}{-1\sqrt{1-\frac{3}{x}}-1} = \frac{3}{\sqrt{1-\frac{3}{x}}+1}$

Beräkningen visar att det sökta gränsvärdet är 

    $\lim_{x\to-\infty} \sqrt{x^2-3x}+x = \lim_{x\to-\infty}\frac{3}{1+\sqrt{1-\frac{3}{x}}} = \frac{3}{1+1} = 3/2.$

Albiki skrev:

Symbolen $x$ betecknar ett stort negativt tal.

    $\sqrt{x^2-3x}+x =\frac{(\sqrt{x^2-3x}+x)\cdot(\sqrt{x^2-3x}-x)}{\sqrt{x^2-3x}-x} = \frac{-3x}{\sqrt{x^2-3x}-x} = \frac{-3x}{|x|\sqrt{1-\frac{3}{x}}-x} = \frac{-3}{-1\sqrt{1-\frac{3}{x}}-1} = \frac{3}{\sqrt{1-\frac{3}{x}}+1}$

 jag är inte helt med här, vi har först $\frac{-3x}{\left|x\right|\sqrt{1-{\displaystyle \frac{3}{x}}}-x}$ så långt är jag med men varför får vi sedan -1 framför rottecknet i nästa steg? och hur får vi omvänt tecken i täljaren i nästa steg?

Eftersom $x$ är negativt, är $|x|=-x$. I nästa steg låter man minustecknen i täljare och nämnare ta ut varandra - du kan se det som att man förlänger med $-1$.

Eftersom $x$ är negativt, är $|x|=-x$. I nästa steg låter man minustecknen i täljare och nämnare ta ut varandra - du kan se det som att man förlänger med $-1$.