Gränsvärde

Det här var ett roligt gränsvärde!

Jag skulle börja med att använda l'Hôpitals regel.

Får inte det att fungera  med den regeln heller, dvs derivera uttrycken.

Mer tips ?

Att använda l'Hôpitals regel är bara en början. Man måste klura lite efter det.

Visa vad du får med l'Hôpitals regel så kan vi fortsätta därifrån.

Jag får även då 0 i nämnaren. 

taylorutveckling är en annan variant. Möjligen underlättas det med x = cos(t).

Jo, jag vet att man fortfarande får noll i nämnaren, men man kan göra ett litet trick. L'Hôpitals regel ger:

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1^-}\frac{\arccos(x)}{\sqrt{1-x}}=\lim_{x \rightarrow 1^-}\frac{-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}}$

Om man förenklar och sedan använder att $1-x^2=(1-x)(1+x)$ faller gränsvärdet ut.

Utmärkt, svaret blir roten ur 2, undras hur man löser det med Att sätta t= cos t

tjo å tack 

Sätter man arccos x = t så får man t/(1-cos t)^0,5; förlänger med konjugation (1- cos t)^0,5)så får man 

t(1+cos t)^0,5/(1-cos^2 t); nämnaren kan skrivas sin^2t vilket ger t(1+ cos t)^0,5/(sin^2 t),

insättes t=1 ger detta 1/(1/2^0,5)= roten ur 2. Stämmer .. eller.?. tjo å tack 

Nja, om $x \rightarrow 1^-$ går ju $t \rightarrow 0^+$, alltså stämmer inte det du gör även om du råkar få rätt svar.

Vad Dr. G pratade om var att göra en Taylorutveckling av cosinusfunktionen och på så sätt bestämma gränsvärdet.

Hej!

Du vill bestämma vänstergränsvärdet

    $\displaystyle\lim_{x\uparrow 1}\frac{\arccos x}{\sqrt{1-x}}.$

Det gäller att $\arccos 1 = 0$, vilket gör att man kan skriva kvoten

    $\displaystyle \frac{\arccos x-\arccos 1}{x-1}\cdot\frac{x-1}{\sqrt{1-x}} = -\frac{\arccos x-\arccos 1}{x-1} \cdot \sqrt{1-x}.$ 

Derivatan till arcuscosinusfunktionen är

    $\arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1-x}\cdot\sqrt{1+x}}$

Detta indikerar (?) att det sökta gränsvärdet är lika med

    $\frac{1}{\sqrt{1+1}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Albiki skrev:

Detta indikerar (?) att det sökta gränsvärdet är lika med

    $\frac{1}{\sqrt{1+1}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

 Det blir pannkaka här någonstans. Rätt svar är $\sqrt{2}$. Möjligtvis en borttappad tvåa?

EDIT:

Antagligen har det med att göra att $\arccos'(1)$ inte existerar, vilket gör att det blir pannkaka när man försöker sätta in det istället för

$\lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{\arccos(x)-\arccos(1)}{x-1}$

Mycket trevlig uppgift! Tycker det är snyggt med en övergång från arccos till arcsin för att använda MacLaurin-utveckling (se nedan):