Gränsvärde

Robin1900 skrev:

Hej,

Vilken metod hade ni använt här?

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{ x^2-4x+3}{x^{2-1}}$

Jag testade att dela alla termer med X^2 och tyckte att det blev 0 när $x\to 1$ men facit säger -1. Hur blir det -1? Hittar inga exempel som ser ut såhär i boken.

Faktorisera täljare och nämnare och förenkla.

(Kommentar: Nämnaren ska vara $x^2-1$, inte $x^{2-1}$)

Robin1900 skrev:

Hej,

Vilken metod hade ni använt här?

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{ x^2-4x+3}{x^{2-1}}$

Jag testade att dela alla termer med X^2 och tyckte att det blev 0 när $x\to 1$ men facit säger -1. Hur blir det -1? Hittar inga exempel som ser ut såhär i boken.

 Hej!

Jag misstänker att nämnaren ska vara $x^2-1$ istället för $x^{2-1}$.

Konjugatregeln faktoriserar nämnaren $x^2-1=(x-1)(x+1)$ och man ser att $x=1$ är en rot till polynomet i täljaren, så den kan skrivas $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$.

Kvoten kan därför skrivas

    $\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x+1)}.$

Efter en lämplig förkortning är det okej att låta talet $x$ närma sig talet $1$. Vad blir gränsvärdet?

Tack! Jag lyckades inte se att man kunde använda kvadreringsregeln baklänges på täljaren.

Robin1900 skrev:

Tack! Jag lyckades inte se att man kunde använda kvadreringsregeln baklänges på täljaren.

Det kan du inte. Kvadreringsregeln lyder $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ (eller $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$).

Men du kan faktorisera täljaren genom att ta fram dess nollställen. Antingen gissar du nollställena eller så kan du ta fram dem med hjälp av kvadratkomplettering eller pq-formeln.

Yngve skrev:

Robin1900 skrev:

Tack! Jag lyckades inte se att man kunde använda kvadreringsregeln baklänges på täljaren.

Det kan du inte. Kvadreringsregeln lyder $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ (eller $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$).

Men du kan faktorisera täljaren genom att ta fram dess nollställen. Antingen gissar du nollställena eller så kan du ta fram dem med hjälp av kvadratkomplettering eller pq-formeln.

Tack för rättningen. Fick inte rätt på det med PQ-formeln när jag testade det. Såg nu att jag skrivit 3:an med fel tecken i formeln, suck!