7 svar
99 visningar
revolten behöver inte mer hjälp
revolten 86 – Fd. Medlem
Postad: 8 feb 2018 18:03

Gränsvärde

Hej!

Det är två uppgifter om gränsvärde som jag inte förstår. Varför existerar intelimxxsinx  ochlimx ln xarctan x går mot ?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 8 feb 2018 18:24 Redigerad: 8 feb 2018 18:43

Gör en tråd för varje fråga (det blir så rörigt annars), och ge dem olika rubriker - det blir så förvirrande för oss som svarar om det finns flera trådar med samma namn. /moderator

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 8 feb 2018 18:33

Hej!

Det korta svaret för den första funktionen är att den oscillerar mellan linjerna y=x y=x och y=-x y=-x , så att det inte finns något enskilt tal som talföljden (xsinx)x=1n (x\sin x)_{x=1}^{n} närmar sig när x x växer.

Albiki

pi-streck=en-halv 497 – Fd. Medlem
Postad: 8 feb 2018 18:43 Redigerad: 8 feb 2018 18:44

Jag har en fundering gällande den andra, som du Albiki kanske kan svara på. 

Det gäller ju att om 

limxf(x)=A \lim_{x \to \infty} f(x) = A och limxg(x)=B \lim_{x \to \infty} g(x) = B så 

är limxf(x)g(x)=AB \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} och limxf(x)·g(x)=A·B \lim_{x \to \infty} f(x) \cdot g(x) = A \cdot B

Gäller det omvända? Att om  limxf(x)g(x)=C \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = C och  limxg(x)=B \lim_{x \to \infty} g(x) = B

Är då  limxf(x)=C·B \lim_{x \to \infty} f(x) = C \cdot B ?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 8 feb 2018 18:57
pi-streck=en-halv skrev :

Jag har en fundering gällande den andra, som du Albiki kanske kan svara på. 

Det gäller ju att om 

limxf(x)=A \lim_{x \to \infty} f(x) = A och limxg(x)=B \lim_{x \to \infty} g(x) = B så 

är limxf(x)g(x)=AB \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} och limxf(x)·g(x)=A·B \lim_{x \to \infty} f(x) \cdot g(x) = A \cdot B

Gäller det omvända? Att om  limxf(x)g(x)=C \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = C och  limxg(x)=B \lim_{x \to \infty} g(x) = B

Är då  limxf(x)=C·B \lim_{x \to \infty} f(x) = C \cdot B ?

Hej!

Ja, det gäller men det är inte det omvända påståendet. Det omvända påståendet är följande.

    Om limxf(x)g(x)=AB \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} så är limxf(x)=A \lim_{x\to \infty} f(x) = A och limxg(x)=B. \lim_{x\to \infty} g(x) = B.

Detta påståendet är inte sant! Ta exempelvis f(x)=x f(x) = x och g(x)=x g(x) = x där x>0 x > 0 för båda funktioner.

Albiki

pi-streck=en-halv 497 – Fd. Medlem
Postad: 8 feb 2018 19:00 Redigerad: 8 feb 2018 19:02

=), sant! Det är inte det omvända.

Och, ja, då var jag med på att det omvända inte gäller.

Men, det borde räcka för att visa att det andra gränsvärdet inte existerar (egentligt) då.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 8 feb 2018 19:09

 

pi-streck=en-halv skrev :

=), sant! Det är inte det omvända.

Och, ja, då var jag med på att det omvända inte gäller.

Men, det borde räcka för att visa att det andra gränsvärdet inte existerar (egentligt) då.

Hej!

Hur tänker du då?

Den kontrapositiva formen av ditt påstående är att om gränsvärdet limxf(x)g(x) \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} inte existerar så följer det att limxf(x) \lim_{x\to \infty} f(x) existerar inte eller limxg(x) \lim_{x\to \infty}g(x) existerar inte. Detta är inte användbart här, såvitt jag kan se. (Men jag är litet trött i huvudet efter en lång dag på jobbet.)

Albiki

pi-streck=en-halv 497 – Fd. Medlem
Postad: 8 feb 2018 19:15 Redigerad: 8 feb 2018 19:17

Det kan också vara så att det inte håller.

Påstående 1) limxarctanx=π2 \lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}

Påstående 2) limxlnxarctanx \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{\arctan x} = C,

1 och 2 medför att  limxlnx=C·π2 \lim_{x \to \infty} \ln x = C \cdot \frac{\pi}{2} , men VL existerar inte egentligt,

så påstående 2) kan inte vara sant.

Edit: jag uppfattade frågan som att man undrade varför inte något av gränsvärdena existerade.

Men, samma argument borde kunna användas för att visa att gränsvärde två går mot oändligheten.

Svara
Close