Gränsvärde

Gör en tråd för varje fråga (det blir så rörigt annars), och ge dem olika rubriker - det blir så förvirrande för oss som svarar om det finns flera trådar med samma namn. /moderator

Hej!

Det korta svaret för den första funktionen är att den oscillerar mellan linjerna $y=x$ och $y=-x$, så att det inte finns något enskilt tal som talföljden $(x\sin x)_{x=1}^{n}$ närmar sig när $x$ växer.

Albiki

Jag har en fundering gällande den andra, som du Albiki kanske kan svara på. 

Det gäller ju att om 

$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$ och $\lim_{x \to \infty} g(x) = B$ så 

är $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$ och $\lim_{x \to \infty} f(x) \cdot g(x) = A \cdot B$

Gäller det omvända? Att om $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = C$ och $\lim_{x \to \infty} g(x) = B$

Är då $\lim_{x \to \infty} f(x) = C \cdot B$ ?

pi-streck=en-halv skrev :

Jag har en fundering gällande den andra, som du Albiki kanske kan svara på. 

Det gäller ju att om 

$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$ och $\lim_{x \to \infty} g(x) = B$ så 

är $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$ och $\lim_{x \to \infty} f(x) \cdot g(x) = A \cdot B$

Gäller det omvända? Att om $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = C$ och $\lim_{x \to \infty} g(x) = B$

Är då $\lim_{x \to \infty} f(x) = C \cdot B$ ?

Hej!

Ja, det gäller men det är inte det omvända påståendet. Det omvända påståendet är följande.

    Om $\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$ så är $\lim_{x\to \infty} f(x) = A$ och $\lim_{x\to \infty} g(x) = B.$

Detta påståendet är inte sant! Ta exempelvis $f(x) = x$ och $g(x) = x$ där $x > 0$ för båda funktioner.

Albiki

=), sant! Det är inte det omvända.

Och, ja, då var jag med på att det omvända inte gäller.

Men, det borde räcka för att visa att det andra gränsvärdet inte existerar (egentligt) då.

pi-streck=en-halv skrev :

=), sant! Det är inte det omvända.

Och, ja, då var jag med på att det omvända inte gäller.

Men, det borde räcka för att visa att det andra gränsvärdet inte existerar (egentligt) då.

Hej!

Hur tänker du då?

Den kontrapositiva formen av ditt påstående är att om gränsvärdet $\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$ inte existerar så följer det att $\lim_{x\to \infty} f(x)$ existerar inte eller $\lim_{x\to \infty}g(x)$ existerar inte. Detta är inte användbart här, såvitt jag kan se. (Men jag är litet trött i huvudet efter en lång dag på jobbet.)

Albiki

Det kan också vara så att det inte håller.

Påstående 1) $\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$

Påstående 2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{\arctan x}$ = C,

1 och 2 medför att  $\lim_{x \to \infty} \ln x = C \cdot \frac{\pi}{2}$, men VL existerar inte egentligt,

så påstående 2) kan inte vara sant.

Edit: jag uppfattade frågan som att man undrade varför inte något av gränsvärdena existerade.

Men, samma argument borde kunna användas för att visa att gränsvärde två går mot oändligheten.